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2016年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

(银川一中第四次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则

A．A∩B=? B．B?A C．A∩B={0，1} D．A?B

2．已知复数
（
为虚数单位），则
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．某城市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2548名有车人中有1560名持反对意见，2452名无车人中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否有关系时，用什么方法最有说服力

A．平均数与方差 B．回归直线方程

C．独立性检验 D．概率

4．已知tan（π﹣α）=﹣2，则

A．﹣3 B．

C．3 D．

5．阅读右边的程序框图，若输入的a、b、c分别是1、2、3，

则输出的a、b、c分别是（ ）

A．3、1、2

B．1、2、3

C．2、1、3

D．3、2、1

6．在△ABC中，sinA=
，
，则△ABC的面积为

A．3 B．

C．6 D．4

7．一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是（0，0，1），（1，0，0），（2，2，0），（2，0，0），画该三棱锥三视图的俯视图时，从
轴的正方向向负方向看为正视方向，从
轴的正方向向负方向看为俯视方向，以
平面为投影面，则得到俯视图可以为

8．已知点P（x，y）是抛物线y2=4x上任意一点，Q是圆C：（x+2）2+（y﹣4）2=1上任意一点，则|PQ|+x的最小值为

A．5 B．4 C．3 D．2

9．已知实数x，y满足
，若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为

A．4 B．3 C．2 D．

10．已知函数
的图象如图所示，则该函数的解析式可能是

A．

B．

C．

D．

11．已知双曲线
的左、右焦点分别F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在点P，使得c·sin∠PF1F2=a·sin∠PF2F1≠0，则该曲线的离心率e的取值范围是

A．（1，
） B．（1，
] C．（1，
] D． （1，
）

12．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），对任意实数x满足
，则不等式
的解集是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．函数
的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ．

14．有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为3
，已知球的半径R＝2，则此圆锥的体积为＿＿＿＿.

15．已知三角形ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则S的最大值是　 　．

16．已知

，

则

.

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

已知数列
是等差数列，且

（1）求{an}的通项公式

（2）若
，求数列{bn}的前n项和Sn．

18.（本小题满分12分）

2016年，百年名校银川一中即将迎来110周年校庆。为了了解在校同学们对一中的看法，学校进行了调查，从三个年级任选三个班，同学们对一中的看法情况如下：

对一中的

看 法

非常好，一中奠定了

我一生成长的起点

很好，我的中学很快乐很充实



A班人数

比 例







B班人数

比 例







C班人数

比 例









（1）从这三个班中各选一个同学，求恰好有2人认为一中“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；

（2）若在B班按所持态度分层抽样，抽取9人，在这9人中任意选取3人，认为一中“非常好”的人数记为
，求
的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60o，AD=2，AM=1，E是AB的中点.

（1）求证：AN∥/平面MEC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P-EC-D

的大小为
？若存在，求出AP的长h；若不存在，

请说明理由.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：
（a＞b＞0）经过（1，1）与（
）两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C

上一点M满足|MA|=|MB|．求证：

为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=lnx．

（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；

（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若x1＞x2＞0，求证：
．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，

PC切圆O于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、

BC于点M、N。

求证：（1）△CMN为等腰三角形；

（2）PB·CM=PC·BN.

23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知三点
.

（1）求经过
的圆
的极坐标方程；

（2）以极点为坐标原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆
的参数方程为
（
为参数），若圆
与圆
外切，求实数
的值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

　已知
，不等式
＜4的解集为M。

（1）求M；

（2）若不等式
有解，求
的取值范围。

银川一中2016届高三第四次模拟考试数学(理科)参考答案

1.C

【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C

2.B

考查复数的相关知识。
，实部、虚部均小于0，所以
的共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限。

3.C

解答： 解：在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，

可得：K2=
=83.88＞10.828，

故有理由认为性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系，故利用独立性检验的方法最有说服力．故选：C．

4.D

解答： 解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣2，∴tanα=2，

∴
=
=
=
=﹣
，故选：D．

5.A

6.D

【解答】解：由题意可得

?

=|

|?

|?cosA=6，

又sinA=

，故可得cosA=

，故|

|?

|=10，

故△ABC的面积S=

|

|?

|?sinA=

×10×

=4．故选D．

7.D

8.C

【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=﹣1

圆C：（x+2）2+（y﹣4）2=1的圆心C（﹣2，4），半径r=1，

由抛物线定义知：点P到直线l：x=﹣1距离d=|PF|，点P到y轴的距离为x=d﹣1，

∴当C、P、F三点共线时，|PQ|+d取最小值，∴（|PQ|+x）min=|FC|﹣r﹣1=5﹣1﹣1=3

故选：C．

9.C

【解答】解：作出不等式组

对应的平面区域如图：

由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，

此时z最大，由

，解得

即A（4﹣m，m），

此时z=2×（4﹣m）+m=8﹣m，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，

此时z最小，由

，解得

，

即B（m﹣1，m），此时z=2×（m﹣1）+m=3m﹣2，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，

∴8﹣m﹣3m+2=2，即m=2．故选：C．

10.B

解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得0＜A＜1，T=

＞2π，

求得0＜ω＜1．再根据f（2π）＜0，结合所给的选项，故选：B．

11.D

解：不妨设P（x，y）在右支曲线上，此时x≥a，由正弦定理得
，所以
=
，

∵双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex，|PF2|=ex﹣a，∴
=
?x=
≥a，

分子分母同时除以a，得：
≥a，∴
≥1解得1≤e≤
+1，

故答案为：D（1，
+1）．

12.C

【解答】解：由题意可得函数g（x）=x2f（x）为R上的奇函数，

∵x2f′（x）＞2xf（﹣x），∴x2f′（x）+2xf（x）＞0，

∴g′（x）=x2f（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0，∴奇函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，

∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）可化为x＜1﹣3x，解得x＜

故选：C

13.

【解答】解：由题意可得所求封闭图形的面积

S=
+
=
x3
+（2x﹣
x2）
=
（13﹣03）+（2×2﹣
×22）﹣（2×1﹣
×12）

=
+2﹣
=
故答案为：

14.

15.

解：∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA，S△ABC=

bcsinA，

∴分别代入已知等式得：

bcsinA=2bc﹣2bccosA，即sinA=4﹣4cosA，

代入sin2A+cos2A=1得：cosA=

，∴sinA=

，∵b+c=8，∴c=8﹣b，

∴S△ABC=

bcsinA=

bc=

b（8﹣b）≤

?（

）2=

，当且仅当b=8﹣b，即b=4时取等号，则△ABC面积S的最大值为

．故答案为：

．

16.

解：．对等式

两边求导得

．继续对此等式两边求导，得

．令
得

）

．

17.

【解答】解：（1）由于
为等差数列，若设其公差为d，则
，

∴

，
，解得
，

于是

=2+3（n﹣1），整理得an=
．

（2）由（1）得bn=anan+1=
=
，

∴

．

18.【解析】（1）记这3位同学恰好有2人认为一中“非常好”的事件为A，则
.（5分）

（2）在B班按照相应比例选取9人，则认为一中“非常好”的应该选取6人，认为一中“很好”的应选取3人，则
，

且
；
；

；
.

则
的分布列为：

0

1

2

3















则的期望值为：
（人）.（12分）

19.（I）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF． 又EF?平面MEC，AN?平面MEC，

所以AN∥平面MEC． 

（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），E（
，0，0），

C（0，2，0），P（
，-1，h），
=（
，-2，0），
=（0，-1，h），

设平面PEC的法向量为
=（x，y，z）．则
，∴
，令y=
h，∴
=（2h，
h，
），又平面ADE的法向量
=（0，0，1），∴cos＜
，
＞=
=
，解得h=
，∴在线段AM上是否存在点P，当h=
时使二面角P-EC-D的大小为
．

20.

【分析】（I）把（1，1）与（
，
）两点代入椭圆方程解出即可．

（II）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．

①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．

②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为
，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到
=
，同理
，代入要求的式子即可．

【解答】解析（Ⅰ）将（1，1）与（
，
）两点代入椭圆C的方程，

得
解得
．

∴椭圆PM2的方程为
．

（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．

①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时

=
．

同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时

=
．

②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），

则直线OM的方程为
，设A（x1，y1），B（x2，y2），

由
解得
，
，

∴
=
，同理
，

所以
=2×
+
=2，

故
=2为定值．

21.

【分析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．

（2）本小题转化为

在x＞0上恒成立，进一步转化为
，然后构造函数h（x）=

，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知
，从而可知a的取值范围．

（3）本小题等价于
．令t=
，设u（t）=lnt﹣
，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明
＞
．

【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，

∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，

∴
．

当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增；

当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，

∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．

（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，

∴
在x＞0上恒成立，进一步转化为
，

设h（x）=

，则
，当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）
．要使f（x）≤ax恒成立，必须a
．另一方面，当x＞0时，x+
，

要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，∴满足条件的a的取值范围是[

，2]．

（3）当x1＞x2＞0时，
＞
等价于
．

令t=

，设u（t）=lnt﹣
，t＞1则
＞0，

∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，∴u（t）＞u（1）=0，∴
＞
．

【点评】本题考查函数最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、换元法、等价转化思想的合理运用．

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