绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

(银川一中第一次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，则
=

A.
B.
C.
D.

2．复数
的虚部是

A．i B．-i C．1 D．-1

3．在等比数列
中，若
，
，则该数列前五项的积为

A．±3 B．3 C．±1 D．1

4．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，

则该三棱锥的体积为

A．4
B．8

C．12
D．24

5．二项式
展开式中的常数项是

A．360 B．180 C．90 D．45

6．在
中，
，则
=

A．-1 B．1 C．
D．-2

7．若对任意非零实数
，若
的运算规则

如右图的程序框图所示，则
的值是

A．

B．

C．

D．9

8．函数
满足
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，

，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

10．双曲线
的渐近线与抛物线
相切，则该双曲线的离心率为

A．
B．2 C．
D．

11．已知函数
定义在R上的奇函数，当
时，
，给出下列命题：

①当
时，
②函数
有2个零点

③
的解集为
④
，都有

其中正确命题个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

12．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为
的
个

小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂

颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜

色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种

A．18 B．36 C．72 D．108

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．曲线
与直线
及
所围成的封闭图形的面积为　　　　.

14．在
中，角
的对边分别为
，若
，

则
_______________

15．在区间[0,2]上任取两个实数a,b，则函数f(x)=x3+ax-b在区间[-1,1]上有且只有一个零点的概率是　　　　.

16．已知三棱柱
的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为
，
，
，则此球的表面积等于__________.

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

在等差数列
中，
，其前
项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为

，且
，
．

（1）求
与
；

（2）证明：
．

18.（本小题满分12分）

某学校研究性学习小组对该校高三学生视

力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中

随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图

的频率分布直方图.

（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，

试估计全年级视力在5.0以下的人数；

（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的

学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与

学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和

951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，

根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05

的前提下认为视力与学习成绩有关系?

（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为
，求
的分布列和数学期望.

附：

19．（本小题满分12分）

如图(1)所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图(2)所示．

(1)证明：CD⊥平面A1OC；

(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．

20．(本小题满分12分)

以椭圆
：
的中心
为圆心，
为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆
的左顶点为
，左焦点为
，上顶点为
，且满足
，
.

（1）求椭圆
及其“准圆”的方程；

（2）若椭圆
的“准圆”的一条弦
（不与坐标轴垂直）与椭圆
交于
、
两点，试证明：当
时，试问弦
的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21．(本小题满分12分)

已知函数

(1)若
在
处取得极值，求
的值；

(2)讨论
的单调性；

(3)证明：
为自然对数的底数）.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．

如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，

OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于

点D．连接CF交AB于点E．

（1）求证：DE2=DB?DA；

（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

在平面直角坐标系
中，圆C的参数方程为
，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
，A，B两点的极坐标分别为
.

（1）求圆C的普通方程和直线
的直角坐标方程；

（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知函数
.

（1）解不等式：
；

（2）已知
，求证：
恒成立.

银川一中2016届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

D

A

B

A

C

C

D

C

B

D



二、填空题

13. 4-ln2 14.
15.
16.

三、解答题

17．解：（1）设
的公差为
，因为
所以
解得
或
（舍），
．

故
，
．……………………………………………5分

（2）因为
，所以
．………………8分

故

． ……………………10分

因为
，所以
，于是
，

所以
．即
．……………………12分

18. （1）设各组的频率为
，

由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， ……1分

因为后四组的频数成等差数列，

所以后四组频数依次为
……………………………2分

所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，

故全年级视力在5.0以下的人数约为
…………………………3分

（2）

因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6分

（3）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，

可取0、1、2、3 …………………7分

，
，

，

的分布列为

0

1

2

3















………………11分

的数学期望
………………12分

19．解：(1)证明：在图(1)中，

因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，

∠BAD＝，所以BE⊥AC，BE∥CD.

即在图(2)中，BE⊥OA1，BE⊥OC，

又OA1∩OC＝O，OA1?平面A1OC，OC?平面A1OC，

从而BE⊥平面A1OC.

又CD∥BE，

所以CD⊥平面A1OC.

(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，

又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，

所以∠A1OC为二面角A1-BE - C的平面角，

所以∠A1OC＝.

如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别

为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，

所以B(，0，0)E(－，0，0)，A1(0，0，)，C(0，，0)

得＝(－，，0)，＝(0，，－)

＝＝(－，0，0)．

设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，

则得取n1＝(1，1，1)；

得取n2＝(0，1，1)，

从而cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，

即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为.

20.解：（1）设椭圆
的左焦点

，由
得
，又
，即
且
，所以
，

则椭圆
的方程为
；椭圆
的“准圆”方程为
.………4分

（2）设直线
的方程为
，且与椭圆
的交点
，

联列方程组
代入消元得：

由
………6分

可得
由
得
即

， 所以
………8分

此时
成立，

则原点
到弦
的距离
,

得原点
到弦
的距离为
，则
，

故弦
的长为定值. ……………………………12分

21、解：（1）
是
的一个极值点，则

，验证知
=0符合条件…………………….（2分）

（2）

1）若
=0时，

单调递增，在
单调递减；