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2016年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

(银川一中第三次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．集合
，则下列结论正确的是

A．
B．

C．
D．

2．欧拉公式
（
为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，
表示的复数在复平面中位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知向量
，则向量
在
方向上的投影为

A．
B．
C．
D．3

4．已知函数
的图象（部分）如图所示，则
的解析式是

A．

B．

C．

D．

5．已知点
在
所包围的阴影区域内（包括边界），

若有且仅有
是使得
取得最大值的最优

解，则实数
的取值范围为

A.
B.

C.
D.

6．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是

A．

B．

C．

D．

7．执行如图所示的程序框图，输出
，

那么判断框内应填（ ）

A．
B．

C．
D．

8．已知圆
和两坐标轴的公

共点分别为
，
，
，则
的面积为

A．
B．
C．
D．

9．已知
，则

A．
B．
C．
D．

10．下列四个命题中，正确的有

①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低；

②命题“
，使得
”的否定是:“对
， 均有
” ；

③命题“
为真”是命题“
为真”的必要不充分条件；

④若函数
在
有极值
，

则
或
.

A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个

11．已知抛物线
，圆
，过点
作直线
，

自上而下顺次与上述两曲线交于点
（如图所示），

则
的值正确的是

A．等于
B．最小值是

C．等于
D．最大值是

12．已知定义在R上的奇函数
的图象为一条连续不断的曲线，
，
，且当0 < x < 1时，
的导函数
满足：
，则
在
上的最大值为

A．a B．0 C．-a D．2016

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．函数
，则
．

14．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线
的一条渐近线倾斜角为
，

则双曲线
的离心率为 ．

15．三棱柱
各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，
，
，
，则这个球的表面积为 ．

16．已知
是等差数列
的前
项和，且
，给出下列五个命题：

①
；②
；③
；④数列
中的最大项为
；⑤
．

其中正确命题的是 ．

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

在△
，角
的对边分别为
已知

（1）求
的值；

（2）若
求△
的面积.

18．（本小题满分12分）

从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：

上一年的

出险次数

0

1

2

3

4

5次以上

（含5次）



下一年

保费倍率

85%

100%

125%

150%

175%

200%



连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折





经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据
（其中
（万元）表示购车价格，
（元）表示商业车险保费）：
、
、
、
、
、
、
、
，设由这8组数据得到的回归直线方程为：
．

（1）求
；

(2) 有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000 辆调查,得到一年中出险次数的频数分布如下(并用相应频率估计车辆2016 年度出险次数的概率):

广东李先生2016 年1月购买一辆价值20 万元的新车.根据以上信息,试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费(精确到元),并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担.(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）

19．（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AC与BD相交于点O，

AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB = AE = 2.

（1）求证：BD⊥平面ACFE；

（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线
与椭圆交于P,Q两点，P点位于第

一象限，A,B是椭圆上位于直线
两侧的动点.当点

A,B运动时，满足
，问直线AB的斜

率是否为定值，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

设函数

（1）令
（
），若
的图象上任意一点
处切线的斜率

恒成立，求实数
的取值范围；

（2）若方程
有唯一实数解，求正数
的值．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分） 选修4 - 1：几何证明选讲

如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、

BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM = m.

（1）证明：
；

（2）若r = 3m，求
的值.

23．（本小题满分10分） 选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是
（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线l和圆C的极坐标方程；

（2）射线OM：θ = α（其中
）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：
与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求
的最大值.

24．（本小题满分10分） 选修4 - 5：不等式选讲

已知函数
，不等式
的解集为
.

（1）求实数m的值；

（2）若关于x的不等式
恒成立，求实数a的取值范围.

银川一中2016届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

A

A

A

B

A

D

C

A

C

C



二．填空题

13.
14. 2or
15. 64
16. ①②⑤

三．解答题

17. 【解析】（1）因为
，
，所以
．

因为
，

所以

，…………2分

由题意
，所以
，

所以
．……………………………………………………………………6分

（2）由（1）知
，所以
，
．

由正弦定理得
，所以
…………………………8分

又
，

所以
．………………………………………12分

18.【解析】（1）
万元，

元，

直线
经过样本中心
，即
．

∴
．

(Ⅱ)设该车辆2017 年的保费倍率为X ,则X 为随机变量,

X 的取值为0.85 ,1,1.25 ,1.5 ,1.75 , 2 . ………7 分

且 X 的分布列为

计算得下一年保费的期望倍率为

EX＝0.85×0.5＋1×0.38+ 1.25×0.1 +1.5×0.015 +1.75×0.004 + 2×0.001 = 0.9615 … 10 分

该车辆估计2017年应缴保费为:(1 17.8× 20 +1055) × 0.9615 = 3279.677
3280 元. … 11 分

因0.96 < 1 (或3280 < 3411 ),基于以上数据可知,车险新政总体上减轻了车主负担.… 12 分

19（Ⅰ）证明：
四边形
是菱形，

.

平面
,
平面

.

,

平面
.………….4分

（Ⅱ）解：如图以
为原点，
为
轴正向，
轴过
且平行于
，建立空间直角坐标系.则

，
.…………6分

设平面
的法向量为
，

则有
，即
令
，
.…………8分

由题意
解得
或
.

由
，得
. …….12分

20．

21..解：

22. 解：（Ⅰ）作
交
于点
，作
交
于点
.

因为
，
，

所以
.

从而

.

故
……5分

（Ⅱ）因为
，
，

所以
.

因为

所以
.

又因为
，所以
． …………….10分

23.解：（Ⅰ）直线
的极坐标方程分别是
.

圆
的普通方程分别是
，

所以圆
的极坐标方程分别是
. …….5分

（Ⅱ）依题意得，点
的极坐标分别为
和

所以
，
，

从而
.

同理，
.

所以

，

故当
时，
的值最大，该最大值是
. …10分

24.解 ：（Ⅰ）由已知得
，得
，即
…… 5分

（Ⅱ）
得
恒成立

（当且仅当
时取到等号）

解得
或

故
的取值范围为
或
…… 10分

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