2016届石嘴山三中第三次模拟考试

数学（理）能力测试

一选择题 :（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

1．若集合
,
,则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若复数
是纯虚数，则
的值为 ( )

A．
B．
C．
D．

3．设命题
：若
，
，则
；命题
：若函数

，则对任意
都有
成立．在命题①

； ②

； ③
； ④
中，真命题是

A．①③ B． ①④ C． ②③ D． ②④

4．已知向量
，
满足
，且
，
，则
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.设X~N(1,
),其正态分布密度曲线如图所示，且P(X
3)=0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是

（附：若随机变量
服从正态分布N(

则
=68.26％.

=95.44％）

A.6038 B.6587 C. 7028 D.7539

6、公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（ ）（参考数据：

sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）

A．6 B．12 C．24 D．48

7.设
是数列

的前
项和，
时点
在直线
上，且
的首项
是二次函数
的最小值，则
的值为(　 )

A.
B．
C．
D．

8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（ ）

A．
B．

C．
D．

9.对
∈R，n∈[0，2]，向量c＝（2n＋3cosα，n－3sinα）的长度不超过6的概率为

A．
B．
C．
D．

10.数列
满足
，对任意的
都有
，

则

A．
B．
C．
D．

11.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）

A
B
C
D

12．定义在
上的函数
，
是其导数，且满足
，
，则不等式
(其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若
，则二项式
的展开式各项系数和为 ．

14．已知x，y满足
若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为____________．

15．过双曲线
的左焦点
，作圆
的切线交双曲线右支于点P，切点为T，
的中点为M，则
_____________．

16．给出下列命题：

【来源：全,品…中&高*考+网】①.命题“若方程
有两个实数根，则
”的逆否命题是真命题；

②.“函数
的最小正周期为
”是“
”的必要不充分条件；

③.函数
的零点个数为
；

④幂函数

的图像恒过定点

⑤.“向量
与
的夹角是钝角”的充分必要条件是“
” ；

⑥.方程
有三个实根. 其中正确命题的序号为__________.

三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）。

17.（本小题满分12分）在
中，
分别为角
、
、
的对边，
为边
的中点，

（1）若
，求
的值；

（2）若
，求
的面积.

18．（本小题满分12分）

为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99％的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；

（Ⅱ）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

参考数据：

19.（本小题满分12分）

如图，空间几何体
中，平面
平面
，
平面
．

（1）证明：
平面
；

（2）若
是边长为2的正三角形，
平面
，且
与
，
所成角的余弦值均为
，试问在
上是否存在一点
，使得二面角
的余弦值为
．若存在，请确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

20．已知椭圆
过点
，离心率为
，点
分别为其左右焦点．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若
上存在两个点
，椭圆上有两个点
满足
三点共线，
三点共线，且
,求四边形
面积的最小值．

21．设函数
（
）．

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
在
内有极值点，当
，
，求证：
．（
）

【选考题】

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答。 注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是
的直径，弦BD、CA的延长线

相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.

求证： （I）
；

（II）AB2=BE?BD-AE?AC.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：
（t为参数）与曲线C：

（θ为参数）相交于不同的两点A，B．

（Ⅰ）若α＝
，求线段AB中点M的坐标：

（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜2，其中P（2，
），求直线l的斜率．

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
。

（I）画出函数y=f(x)的图像；

（II）若不等式
，（a?0,a、b?R）恒成立，求实数x的范围.

参考答案

一．选择题

1.A 2.B 3.D 4.D 5.B 6.C 7.C 8.C 9.C 10.D 11.A 12.A

二、填空题

13.-1 14. 5 15.
16. ②

17解：(Ⅰ)
，
，

由余弦定理：

=
，………………………………2分

． ……………………………………………………………………4分

又
，所以
，

由正弦定理：
，

得
．………………………………………6分

(Ⅱ) 以
为邻边作如图所示的平行四边形
，如图，则
，…………………8分

在△BCE中，

由余弦定理：
．

即
，

解得：
即
…………………10分

所以
.…………………………………………12分

18.解：(Ⅰ)2乘2列联表

年龄不低于45岁的人数

年龄低于45岁的人数

 合计



支持





 32



不支持





 18



合 计

10

40

 50



………………………………………………2分

＜
…………………4分

所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.

………………………………………………5分

(Ⅱ)
所有可能取值有0, 1,2,3, ………………………6分

……………………10分

所以
的分布列是

0

1

2

3















所以
的期望值是
………………………12分

19．（1）证明：如图，过点
作直线
交
于点
，连接
．

因为平面
平面
，
平面
，

，且平面
平面
，

所以
平面
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

因为直线
平面
，

所以
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

因为
平面
，
平面
，

所以直线
平面
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）连接
，因为
平面
，

所以
是矩形，所以
平面
．

因为直线
与直线
所成角的余弦值均为
，

所以
，所以
为
的中点，所以
，且
．

设
，因为
，所以
，

所以
．

在
中，
．

所以
，

即
，

即
．

解得
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则
．

假设存在点
，连接
，设
，则
．

设平面
的法向量为
，

则
，取
，则平面
的一个法向量为
．

设平面
的法向量为
，

则
，

取
，则平面
的一个法向量为
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

设二面角