石嘴山三中2016届第三次模拟考试

数学（文科）能力测试

2016.5

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名

和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、

不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定

区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和

涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1、设集合 ， ， 则
（ ）

A．[0,1) B．(0,1] C．[0,1] D．(0 ,1)

2、在复平面内，复数
满足
，则
的共轭复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

4、已知f（x）=

则f（f（2））的值是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

5、已知等差数列
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6、在区间 上随机取两个实数
，则函数
在区间 上有且只有一个零点的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

7、直线y=k(x+1)（k∈R）与不等式组
?表示的平面区域有公共点，

则k的取值范围是（ ）

A . [-2,2] B. (-∞, -2]
[2,+ ∞)

C. [-
,
] D. (-∞,-
]
[
, +∞)

8、已知抛物线
与点
,过
的焦点且斜率为
的直线与
交于
两点,若
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

9、已知
是常数，函数
的导函数
的图像如右图所示，则函数
的图像可能是 （ ）

10、公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）

A．6 B．12 C．24 D．48

11、已知双曲线
以及双曲线
的渐近线将第一象限三等分，则双曲线
的离心率为（ ）

A.
或
B． 2或
C．2或
D．
或

12、设函数

，则函数
的各极小值之和为（ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13、已知α是锐角，
=（
，sinα），
=（cosα，
），且
∥
，则α=_________

14、已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝-2，则a7＝________．

15、下列命题：①已知
，
表示两条不同的直线，
，
表示不同的平面，并且
，
，则“
”是“
”的必要不充分条件；②不存在
，使不等式
成立；③“若
，则
”的逆命题为真命题；④
，函数
都不是偶函数．正确的命题序号是 ．

16、在球
的内接四面体
中，
，
，
，且四面体
体积的最大值为200，则球
的半径为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）

已知
,
．

（I）求
的最小正周期和单调递增区间；

（II）在
中,
,
,若
的最大值为
,求
的面积．

类别

A

B

C



数量

400

600





18、（本小题满分12分）

一汽车厂生产A,B,C三类轿车,

某月的产量如右表（单位:辆):

按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在A，B类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆A类轿车的概率;

（Ⅲ）用随机抽样的方法从A,B两类轿车中各抽取4辆，进行综合指标评分，经检测它们的得分如右图，比较哪类轿车综合评分比较稳定.

19、（本小题满分12分）

如图，在边长为
的菱形
中，
，点
分别是边
，
的中点，
，沿
将
翻折到
，连接
，得到如图的五棱锥
，且
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求四棱锥
的体积.

20、（本小题满分12分）

已知椭圆
的右焦点为
，短轴长为2，点
为椭圆
上一个动点，且
的最大值为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若点
的坐标为
，点
为椭圆
上异于点
的不同两点，且直线
平分
，求直线
的斜率.

21、（本小题满分12分）

设
，函数
．

（Ⅰ）讨论函数
的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知
（
是自然对数的底数）和
是函数
的两个不同的零点，求
的值并证明:
．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答。 注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是
的直径，弦BD、CA的延长线

相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.

求证： （I）
；

（II）AB2=BE?BD-AE?AC.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：
（t为参数）与

曲线C：
（θ为参数）相交于不同的两点A，B．

（Ⅰ）若α＝
，求线段AB中点M的坐标：

（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜
，其中P（2，
），求直线l的斜率．

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
。

（I）画出函数y=f(x)的图像；

（II）若不等式
，（a?0,a、b?R）恒成立，求实数x的范围.

参考答案

一．选择题

1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D 10.C 11.B 12.D

二、填空题

13. 15°或75° 14. 8 15. ① 16. 13

三、解答题

17、试题解析：

--------------5分

(I)
--------------6分

(II)
为
的内角,且
,--------------8分

又
是
的最大值,

--------------10分

在
中,由余弦定理得

--------------12分

18、试题解析：

（Ⅰ)由题意得,
,所以
--------------2分

（Ⅱ)设抽取一个容量为5的样本中有
辆A类轿车，根据分层抽样可得,
,解得
即样本中有A类2辆B类3辆，分别记作A1,A2,B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为（A1,A2）（A1,B1),（A1,B2）,（A1,B3）（A2,B1),（A2,B2),（A2,B3),（B1,B2),（B1,B3）,（B2,B3)共10个,其中至少有1辆A类轿车的基本事件有7个:（A1,A2）,（A1,B1),（A1,B2）,（A1,B3）（A2,B1),（A2,B2),（A2,B3),,所以从中任取2辆,至少有1辆A类轿车的概率为
.

--------------8分

（Ⅲ）由茎叶图得
,
，

所以
,
，--------------11分

因为
, 所以
类轿车成绩较稳定. --------------12分

19、试题解析：

（1）证明：∵点
分别是边
的中点，

∴
.--------------2分

∵菱形
的对角线互相垂直，∴
.∴
.

∴
，--------------4分

∵
平面
，
平面
，
，

∴
平面
，∴
平面
，∴
.--------------6分

（2）解：设
。连接
，∵
，

∴
为等边三角形，∴
，

在
中，
，

在
中，
，∴
.--------------8分

∵
，
，
平面
，
平面
，

∴
平面
， --------------10分

梯形
的面积
，

∴四棱锥
的体积
.--------------12分

20、试题解析：（1）
,
，

由
得
，所以椭圆
的方程为
.----------4分

（2）设点
，
的坐标分别为
，
，由题意可知直线
的斜率存在，

设直线
的方程为
，

由
得
，

，

----------7分

因为
， 所以
--------------8分

又因为直线
平分
，所以直线
，
的倾斜角互补，斜率互为相反数.

同理可得：
，--------------10分

.--------------12分

21、试题解析：

（Ⅰ）由已知得

，
，

①若
，则
，
是区间
上的增函数，无极值；----------2分

②若
，令
，得
，

在区间
上，
，函数
是增函数，

在区间
上，
，函数
是减函数，

所以在区间
上，
的极大值为
．----------5分

综上所述，①当
时，函数
的递增区间为
，无极值；②当
时，函数
的递增区间为
，递减区间是
，函数
的极大值为
．---------6分

（Ⅱ）因为
，所以
，解得
，

所以
，--------------8分

又
，
，

所以
，--------------10分

由（Ⅰ）函数
在
递减，

故函数
在区间
有唯一零点，

因此
． --------------12分

选做题

22、 解：(I)连结AD

因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°

则A、D、E、F四点共圆 ---4分

∴∠DEA=∠DFA--------5分

(II)由(I)知，BD?BE=BA?BF

又△ABC∽△AEF

∴
---------7分

即：AB?AF=AE?AC

∴ BE?BD-AE?AC

=BA?BF-AB?AF

=AB(BF-AF) =AB2

--------------10分

23.解析：（1）将曲线
的参数方程化为普通方程是
．当
时，设点
对应的参数为
．直线
方程为
（
为参数），代入曲线
的普通方程
，得
，设直线
上的点
对应参数分别为
．

则
，所以点
的坐标为
． ……………………5分

（2） 将
代入曲线
的普通方程
，

得
，

因为
，
，

所以
，得
．

由于
，

故
．所以直线
的斜率为
． ………………………10分

24．解：(I)
--------2分

图略 -----4分

(II)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)

恒成立 只需

------7分

------10分

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