石嘴山市第三中学2016届高三下学期第一次模拟考试

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22—24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的中性笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 4．作图可先使用2B铅笔填涂；非选择题作图必须用黑色字迹的中性笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合
，
，全集
，则

A．
　 B．
　 C.
D．

2．已知
，则复数
在复平面上对应点位于

A．第一象限　 B．第二象限　 C．第三象限　 D．第四象限

3．给定下列两个命题：

①“p∨q”为真是“?p”为假的必要不充分条件；

②“
x
R，使sinx＞0”的否定是“
x
R，使sinx
0”．

其中说法正确的是( )

A．①真②假 B．①假②真 C．①和②都为真 D．①和②都为假

4．下列函数中，既是偶函数，又在
上是单调减函数的是（ ）

A．
B．
C．
D．

5.一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

6. 已知
，且
，函数
的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

7. 阅读如图所示的程序框图，若输入
，则输出的
值是

A．
B．
C．
D．

8.过双曲线

（
）的左顶点
作斜率为
的直线
，若直线
与双曲线的两条渐近线分别相交于点
，
，且
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.若x，y满足
且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．球
半径为
，球面上有三点
、
、
，
，
，则四面体
的体积是

A.
　 　B.
　　 C.
　 　D.

11.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
，若当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是

14．将序号为1，2，3，4的四张电影票全部分给3人，每人至少一张．要求分给同一人的两张电影票连号，那么不同的分法种数为 ．（用数字作答）

15．设
，则二项式
展开式中的
项的系数为 ．

16.已知数列
满足
，其中
为
的前
项和，则
_______．

三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）。

17.（本题满分12分）

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.

18．（本小题满分12分）

某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于
小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段
，
，
，
，
（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；

（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记
为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量
的分布列和数学期望
和方差
．

19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为蓌形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC,PC 的中点．

（Ⅰ）求证：AE⊥PD；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为
，

求二面角 E-AF-C的余弦值．

20.（本小题满分12分）已知抛物线

（
）的焦点为
，过点
作直线
交抛物线
于
，
两点．椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，点
是它的一个顶点，且其离心率
．

（Ⅰ）分别求抛物线
和椭圆
的方程；

（Ⅱ）经过
，
两点分别作抛物线
的切线
，
，切线
与
相交于点
．证明：
．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，

（1）若函数
在
上是减函数，求实数
的取值范围；

（2）令
，是否存在实数
，当
（
是自然常数）时，函数
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；

（3）当
时，证明：

选考题（本题满分10分）．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1，几何证明选讲

如图所示，圆
的两弦
和
交于点
，
∥
，

交
的延长线于点
，
切圆
于点
.

（1）求证：△
∽△
；

（2）如果
，求
的长．

23．（本题满分10分）

选修4—4;坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立坐标系。已知曲线
，过点
的直线
的参数方程为
（
是参数），直线
与曲线
分别交于
两点。

（1）写出直线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

（2）若
成等比数列，求
的值。

24（本题满分10分）．

选修4—5；不等式选讲

已知函数
，其中
.

⑴当
时，求不等式
的解集；

⑵若函数
的图象与
、
轴围成的三角形面积大于
，求
的取值范围.

参考答案

选择

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

D

C

B

A

D

C

B

A

A

B

D



填空

13

14

15

16



答案

-4

18

-160







17.解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得



解得a1＝1，d＝2.

因此an＝2n－1，n∈N*.

(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，

当n＝1时，＝；

当n≥2时，＝1－－＝，

所以＝，n∈N*.

由(1)知an＝2n－1，n∈N*，

所以bn＝，n∈N*.

又Tn＝＋＋＋…＋，

Tn＝＋＋…＋＋，

两式相减得

Tn＝＋－

＝－－，

所以Tn＝3－.

18.解析：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段
小时的学生人数为
（人），参加社区服务时间在时间段
小时的学生人数为
（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为
人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为

（2）由（1）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小

时的概率为
由已知得，随机变量
的可能取值为
．

所以
；
；

；
．

随机变量
的分布列为

0

1

2

3















因为
～
，所以

19（Ⅰ）证明：由四边形
为菱形，
，可得
为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．

因为PA⊥平面ABCD，AE
平面ABCD，所以PA⊥AE．

而PA
平面PAD，AD
平面PAD 且PA∩AD=A，

所以 AE⊥平面PAD，又PD
平面PAD．所以 AE⊥PD．……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，设AB=2，AP=a，则A（
），B
，C
，D（
），P（
），E（

），F（
），

所以
=

，且
=
为平面PAD的法向量，设直线PB与平面PAD所成的角为θ，由
=|
＜
，
＞|=
=
=

解得
所以
＝
，
＝

设平面AEF的一法向量为m=（x1,y1,z1），则
，因此
取
，则m=（0,2,-1）,因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故
为平面AFC的一法向量．又
=
，

所以
=
．

因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为

20.（Ⅰ）由已知抛物线
的焦点为
可得抛物线
的方程为
．

设椭圆
的方程为
，半焦距为
．由已知可得：

,解得
．所以椭圆
的方程为：
．

（Ⅱ）显然直线
的斜率存在，否则直线
与抛物线
只有一个交点，不合题意，

故可设直线
的方程为

，

由
, 消去
并整理得
∴
．

∵抛物线
的方程为
，求导得
，

∴过抛物线
上
两点的切线方程分别是
，
,

即
，
，

解得两条切线