天津市河北区2016届高三总复习质量检测（一）

数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题共40分）

参考公式：

· 如果事件A，B互斥，那么

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）

· 如果事件A，B相互独立，那么

P（AB）＝P（A）P（B）

· 球的表面积公式 S＝

球的体积公式 V＝

其中R表示球的半径





一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

已知集合
，
，
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）
是虚数单位，复数

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）已知实数
满足条件
则
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

设
，则“
且
”是“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）已知双曲线
的一条渐近线平行于直线
：
，

且双曲线的一个焦点在直线
上，则双曲线的方程为

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）已知函数
，若
且
，则下列结论一定不成立的是

（A）
（B）

（C）
（D）

已知函数
若关于
的方程
(
)

有
个不同的实数根，则
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷

得 分

评卷人

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.













一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ______________．

（10）如图，已知切线
切圆于点
，割线
分别交圆于点
，点
在线段

上，且
，则线段
的长为

_______________．

（第9题图） （第10题图）

（11）由曲线
与直线
所围成的封闭图形的面积是 ．

（12）设常数
，若
的二项展开式中含
项的系数为
，则
的值

为 ．

（13）在锐角
中，角
的对边分别是
，若
，
，

，则
的值为_____________．

（14）在直角
中，
，
是斜边
上的两个动点，
，

则
的取值范围是______________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

得 分

评卷人

（15）（本小题满分13分）













已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）当
时，求
的最大值和最小值．

得 分

评卷人

（16）（本小题满分13分）













某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请
名来自本校机械

工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表：

学院

机械工程学院

海洋学院

医学院

经济学院



人数













（Ⅰ）从这
名学生中随机选出
名学生发言，求这
名学生中任意两个均不属于

同一学院的概率；

（Ⅱ）从这
名学生中随机选出
名学生发言，设来自医学院的学生数为
，求

随机变量
的分布列及数学期望．

得 分

评卷人

（17）（本小题满分13分）













如图，在四棱锥
中，
，
，
，

是棱
上一点．

（Ⅰ）若
，求证：
平面
；

（Ⅱ）若平面
平面
，平面
平面
，求证：
平面
；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角
的余弦值为
，求
的值．

得 分

评卷人

（18）（本小题满分13分）













已知数列
是等差数列，
为
的前
项和，且
，
，数列

对任意
，总有
成立．

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）记
，求数列
的前
项和
．

得 分

评卷人

（19）（本小题满分14分）













已知椭圆
：
的短轴长为
，离心率
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
：
与椭圆交于不同的两点
，与圆
相切

于点
．

（i）证明：
（
为坐标原点）；

（ii）设
，求实数
的取值范围．

得 分

评卷人

（20）（本小题满分14分）













已知函数
，
，其中
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）当
时，若
图象上的点都在
所表示的平面区域内，

求实数
的取值范围．

河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（一）

数 学 答 案（理）

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

B

C

A

A

B

D





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）
； （10）
； （11）
；

（12）
； （13）
； （14）
．

解答题：本大题共6小题，共80分．

（15）（本小题满分13分）

解：
…… 4分

． …… 6分

（Ⅰ）
． …… 7分

（Ⅱ）∵
∴
． …… 8分

∴
． …… 10分

∴
． …… 11分

∴
． …… 13分

（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）从
名学生中随机选出
名中任意两个均不属于同一学院的方法数为：

， …… 2分

∴
． …… 4分

（Ⅱ）
的所有取值为 0，1，2，3． …… 5分

∵
；
；

；
，

∴随机变量
的分布列为：

0

1

2

3



P











 …… 11分

∴
． …… 13分

（本小题满分13分）

证明：（Ⅰ）连结
，交
于点
，连结
．

∵
∥
，
，

∴
．

又
，

∴
．

∴
∥
． ……2分

又
平面
，
平面
，

∴
∥平面
． …… 4分

（Ⅱ）∵平面
平面
，平面
平面
，
，

∴
平面
．

∴
． …… 6分

同理可证
． …… 7分

又
，∴
平面
． ……8分

（Ⅲ）解：以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由
，

得

由（Ⅱ）可知平面
的法向量为
． ……9分

设

，即
，又
，

∴
．

设平面
的法向量为
，

∵
，

∴

∴
． ……11分

∵二面角
的余弦值为
，

∴
．

解得
，即
． ……13分

（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，

则
．

解得
．

∴
． ……3分

∴
． (

． (

((两式相除得

．

∵当
时，
适合上式，

∴

． ……6分

（Ⅱ）∵
，

∴
． …… 8分

当
为偶数时，