2016届天津市南开区高三一模考试数学（文）试卷

数 学 试 卷（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．

祝各位考生考试顺利！

第 Ⅰ 卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）i是虚数单位，满足(1+2i)z=–3+4i的复数z=（ ）．

（A）1–2i （B）–
+2i　

（C）1+2i （D）–4+2i

（2）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“A(B”是“a=3”的（ ）．

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（3）以下茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩（单位：分）．

甲组



乙组



　 5

8

9　　　



x　2

10

6　y　9



7　4

11

5　　　



已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为105.4，则x，y的值分别为（ ）．

（A）5，7 （B）6，8

（C）6，9 （D）8，8

（4）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为（ ）．

（A）4 （B）6

（C）7 （D）11

（5）等差数列{an}的首项a1=–5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的是（ ）．

（A）a6 （B）a8

（C）a9 （D）a10

（6）已知双曲线
–
=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4cx（其中c=
）交于A，B两点，若|AB|=4c，则双曲线的离心率为（ ）．

（A）
（B）2

（C）
（D）
+1

（7）如图，已知AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连结CF交AB于点E．若AB=6，ED=4，则EF=（ ）．

（A）2 （B）

（C）
（D）

（8）若函数f(x)=sin?x+acos?x（?＞0）的图象关于点M(
，0)对称，且在x=
处有最小值，则a+?的一个可能的取值是（ ）．

（A）9 （B）6

（C）3 （D）0

南开区2015～2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）

答 题 纸（文史类）

题 号

二

 三

总分







(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)





得 分



















第 Ⅱ 卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；

2．本卷共12小题，共110分．

得 分

评卷人

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。



















（9）已知集合A={x||x–1|≤a，a＞0}，B={x|x2–6x–7＞0}，且A∩B=(，则a的取值范围是 ．

（10）设f(x)为定义在R上的奇函数，若当x＞0时，f(x)=3x+1，则f(log3
)= ．

（11）一个棱长为
的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则此剩余部分体积的为 ．

（12）已知圆C：(x–2)2+y2=4，直线l：x–
y=0，圆C上的点A到直线l的距离不大于1的概率为 ．

（13）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AC与BD交于点M，AB=2CD=4．若
?
=–1，则cos∠BMC= ．

（14）已知函数f(x)=
若函数g(x)=a–|f(x)|有四个零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则ax1x2+
的取值范围是 ．

三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

得 分

评卷人

（15）（本小题满分13分）











某企业生产甲、乙两种产品．已知每生产1000千克甲产品需要原料3吨，劳动力成本5000元；每生产1000千克乙产品需要原料2吨，劳动力成本10000元．又知生产出甲产品1000千克可获利6000元，生产出乙产品1000千克可获利8000元．现在该企业由于受原料和资金条件限制，只能提供30吨原料和11万元资金，在这种条件下应生产甲、乙产品各多少千克才能使总利润最大？

得 分

评卷人

（16）（本小题满分13分）











在△ABC中，D为边BC上一点，CD=2BD，∠ADB=120(，AD=2，且△ADC的面积为
．

（Ⅰ）求sinB的值；

（Ⅱ）求cos(2B–
)的值．

得 分

评卷人

（17）（本小题满分13分）











如图，斜三棱柱ABC(A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，E为棱CC1的中点，A1B与AB1交于点O．若AC=CC1=2BC=2，∠ACC1=∠CBB1=60°．

（Ⅰ）证明：直线OE∥平面ABC；

（Ⅱ）证明：平面ABE⊥平面AB1E；

（Ⅲ）求直线A1B与平面ABE所成角的正弦值．

得 分

评卷人

（18）（本小题满分13分）











设数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2，n∈N*，数列{bn}为等比数列．已知a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n–1)?3n+1+3．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设an?(1+2log3bn)?cn=1，求数列{cn}的前n项和Tn．

得 分

评卷人

（19）（本小题满分14分）











椭圆C：
（a＞b＞0）的两焦点为F1(–c，0)，F2(c，0)，椭圆的上顶点M满足
?
=0．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；

（Ⅱ）若点N(0，2)到椭圆C上的点的最远距离为
．

①求此时椭圆C的方程；

②椭圆C上是否存在两点A，B关于直线l：y=kx–1（k≠0）对称，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

得 分

评卷人

（20）（本小题满分14分）











设函数f(x)=
+alnx．

（Ⅰ）若a＜0，求f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(0，
]上仅有一个零点；

（Ⅲ）若存在x0≥1，使得f(x)–
x2–x＜
（a≠1），求a的取值范围．

2016南开区一模

数学试卷（文史类）参考答案

一、选择题：

题 号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答 案

 C

 B

 B

 C

 B

 D

 D

 A



二、填空题：

（9）0＜a≤2； （10）–6； （11）5；

（12）
； （13）
； （14）[4，+∞)

三、解答题：（其他正确解法请比照给分）

（15）解：设生产甲产品x吨，乙产品y吨，

则x，y满足约束条件
…………4分

生产利润为z=0.6x+0.8y（万元）． …………5分

画出可行域，如图阴影部分（包含边界），

显然z=0.6x+0.8y在点A处取得最大值，

…………9分

由方程组
，解得
…………11分

则zmax=0.6×2+0.8×9=8.4． …………12分

故应生产甲产品4000千克，乙产品9000千克才能使总利润最大．…………13分

（16）解：（Ⅰ）∵∠ADB=120(，∴∠ADC=60(．

由S△ADC =
AD·DC·sin∠ADC=
，得DC=2， …………3分

∵BD=
DC，∴BD=1，BC=3．

在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2–2AD·BDcos∠ADB=7，

∴AB=
，

由正弦定理得
=
，∴sinB=
． …………7分

（Ⅱ）∵sinB=
，且B为锐角，∴cosB=
，

∴sin2B=2sinBcosB=
，cos2B=2cos2B–1=
， …………11分

∴cos(2B–
)=
cos2B+
sin2B=
． …………13分

（17）解：（Ⅰ）取BB1的中点F，连结OF，EF．

∵E，O分别为CC1，BA1的中点，

∴OF∥AB，EF∥BC，

∵OF (平面ABC，EF (平面ABC，

∴OF∥平面ABC，EF∥平面ABC，

∴平面OEF∥平面ABC，

∴直线OE∥平面ABC． …………4分

（Ⅱ）∵AC=2CE=2，∠ACC1=60°，

∴AE⊥CC1，

∵平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，

∴AE⊥平面BCC1B1，

∴AE⊥BE．

∵BC=CE=EC1=C1B1=1，∠CBB1=60°，

∴∠CEB=30°，∠C1EB1=60°，

∴∠BEB1=90°，即BE⊥EB1．

∴BE⊥平面AB1E，

∴平面ABE⊥平面AB1E． …………8分

（Ⅲ）作OM⊥AE，M为垂足，连结BM．

由（Ⅱ）知OM⊥平面ABE，

∴BM为OB在平面ABE上的射影，

∴∠OBM即为直线A1B与平面ABE所成角． …………10分

∵OM⊥AE，EB1⊥AE，

∴OM∥EB1，又O为AB1的中点，

∴OM=
EB1=
，EM=
AE=
，

∴BM=
，从而BO=2，

∴sin∠OBM=
，即直线A1B与平面ABE所成角的正弦值为
．…………13分

（18）解：（Ⅰ）∵an+1=an+2，n∈N*，a1=1，

∴{an}是1为首项，2为公差的等差数列．

∴an=2n–1． ………… 3分

∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n–1)?3n+1+3，

∴a1b1=3，a1b1+a2b2 =30，

解得b1=3，b2 =9．

∴{bn}的通项公式为bn=3n． …………7分

（Ⅱ）∴an?(1+2log3bn)?cn=(2n–1) ? (2n+1) ?cn =1，

∴cn=
=
(
–
) …………10分

∴Tn=
(1–
)+
(
–
)+…+
(
–
)+
(
–
)

=
(1–
)=
． …………13分

（19）解：（Ⅰ）∵
?
=(c，b) ?(–c，b)=–c2+b2=0，

∴b=c，从而a=
c，

∴椭圆C的离心率e=
=
． …………3分

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得椭圆C的方程为
．

设P(x，y)是椭圆上任一点，依题意，|PN|的最大值为
，

则|PN|2=x2+(y–2)2=(2b2–2y2)+(y–2)2=–(y+2)2+2b2+8（–b≤y≤b）．

（ⅰ）若b≥2，则y=–2时，|PN|max=
=
，

∴b=3，此时椭圆方程为
． ………………7分

（ⅱ）若0＜b＜2，则y=–b时，|PN|max=b+2=
，

∴b=
–2＞2，矛盾．

综上得椭圆方程为
． ………………9分

②设直线AB的方程为x=–ky+m，

联立方程组

化简得：(k2+2)y2–2kmy+m2–18=0，

由△=4k2m2–4(k2+2)(m2–18)＞0，解得：9k2–m2+18＞0．

由韦达定理得：yA+yB=
，

可求得AB的中点坐标为(
，
)，

代入直线y=kx–1得
=
–1，求得m=
，

代入9k2–m2+18＞0得9k2–
+18＞0，

解得k∈(–∞，–
)∪(
，+∞)． ………………14分

（20）解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，+∞)， …………1分

f((x)=x+
=
， …………2分

由f((x)=0解得x=
．

f(x)与f((x)在区间(0，+∞)上的情况如下：

x

(0，
)



(
，+∞)



f((x)

 –

 0

 +



f(x)

 ↘



 ↗



所以，f(x)的单调递减区间是(0，
)，单调递增区间是(
，+∞)；

f(x)在x=
处取得极小值
． …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在区间(0，+∞)上的最小值为
．

因为f(x)存在零点，所以
≤0，从而a≤–e．

当a=–e时，f(x)在区间(0，
)上单调递减，且f(
)=0，

所以x=
是f(x)在区间(0，
]上的唯一零点．

当a＜–e时，f(x)在区间(0，
)上单调递减，且f(1)=
＞0，f(
)=
＜0，

所以f(x)在区间(0，
]上仅有一个零点．

综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(0，
]上仅有一个零点．…………9分

（Ⅲ）设g(x)=f(x)–
x2–x=alnx+
x2–x，

g((x)=
+(1–a)x–1=
(x–
)(x–1)．

①若a＞1，则g(1)=
–1=
＜
，符合题意．

②若a≤
，则
≤1，故当x∈(1，+∞)时，g((x)＞0，g(x)在(1，+∞)上单调递增．

所以，存在x0≥1，使得f(x)–
x2–x＜
的充要条件为

g(1)=
–1=
＜
，解得–
–1＜a＜
–1．

③若
＜a＜1，则
＞1，故当x∈(1，
)时，g((x)＜0；

当x∈(
，+∞)时，g((x)＞0．

g(x)在(1，
)上单调递减，在(
，+∞)上单调递增．

所以，存在x0≥1，使得f(x)–
x2–x＜
的充要条件为g(
)＜
，

而g(
)=aln
+
+
＞
，所以不合题意．

综上，a的取值范围是(–
–1，
–1)∪(1，+∞)． …………14