天津市河东区2016年高三年级第二次模拟考试

数学试卷（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.

1.
是虚数单位，已知
，则
为（ ）

A．
B．0 C．2 D．

2. 执行右图所示的程序框图，则S的值为（　 ）

A．55　　 B．65　 C．36　　 D．78

3. 已知双曲线的一个焦点为
它的

渐近线方程为
，则该双曲线的方程为( )

A．
B．

C．
D．

4. 已知函数
与
，则它们的图象交点个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．不确定

5．“
”是“点
不在圆
外”的什么条件（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件

6. 下列选项中为函数
的对称中心为(　 　)

A．
B．
C．
D．

7. 如右图所示，在三角形
中，
，
,
，点
为
的中点，
，则
的长度为( )

A．2 B．

C．
D．

8. 已知
，其中
且
，则
的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）

9. 集合
，
，
则
________．

10. 从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，它们的和为奇数的概率为 ．

11. 已知函数
为偶函数，且
，则
．

12. 如右图所示，一款儿童玩具的

三视图中俯视图是以3为半径的圆，

则该儿童玩具的

体积为______．

13. 如右图所示，圆
上的弦
不为直径，

切圆
于点
，点
在
的延长线上

且
，点
为
与圆交点，

若
，则
________．

14. 已知函数
，
，若存在
使
，则
的取值范围是 __________．

三、解答题：（本大题6个题，共80分）

15. （本小题满分13分）

某企业生产
、
两种产品，它们的原料中均含甲、乙两种溶液，生产每件产品所需两种溶液的剂量如下表所示：

单位：升

A

B



甲

4

2



乙

1

5



生产产品
和
每件分别获得利润2万元、3万元，现只有甲、乙两种溶液各60升，该企业有三种生产方案，方案一：只生产
。方案二：只生产
。方案三：按一定比例生产
、
实现利润最大化．

（1）方案一和方案二中哪种方案利润较高；

（2）按照方案三生产则产品
、
各生产多少件，最大利润为多少，判断方案三是否优于方案一和方案二．

16. 设
的内角
所对应的边分别为
,已知
．

（1）求角
；

（2）若
,求
的面积．

17. （本小题满分13分）

如图四棱锥
，三角形
为正三角形，边长为2，
，
，
垂直于平面
于O，O为
的中点．

（1）证明
；

（2）证明
平面
；

（3）若
，直线
与平面
所成角的正切值．

18.（本小题满分13分）

椭圆
的右顶点为
，
为坐标原点，过
的中点作
轴的垂线与椭圆在第一象限交于点
，点
的纵坐标为
，
为半焦距．

（1）求椭圆的离心率；（2）过点
斜率为
的直线
与椭圆交于另一点
，以
为直径的圆过点P(
，
)，求椭圆方程．

19. （本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，数列
为等差数列，
（
）

且
．

（1） 求
、
的通项公式；

（2）设
，
，证明：
．

20. （本小题满分14分

已知函数
．

（1）求函数
在
处切线方程；

（2）讨论函数
的单调区间；

（3）对任意
，
恒成立，求
的范围．

河东区2016年高三年级 二模考试

数学（文）答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

C

B

D

D

C

A



二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．

9. 4 10.

11.
12.

13.
14.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程．

15.（1）方案1，可生产A共15件，获利为30万元 　……2分

方案2，可生产B共12件，获利为36万元，利润较高 ……5分

（2）设产品A、B分别生产
件，利润设为
　　 ……6分

目标函数为
……7分

……9分

作出二元一次不等式组

的平面区域即可行域直线

为随z变化的直线，

当直线经过两直线交点时z最大……11分

交点坐标为（10,10）所以z的最大值为50即利润为50万元

方案3优于方案1、2 ……13分

16. 解：（1）
， 所以
，

所以
， …………………………………………………………………3分

所以
， 又因为
，所以
。………7分

（2）由
可得
, …………………………………………9分

由
可得
， …………………………………………………12分

而

所以
的面积

…13分

17. （1）三角形
为正三角形，
①，
平面

在平面
上，
②，
由①②

平面
，因此
……4分

（2）

在平面
上，
不在平面
上，
平面
……8分

（3）过
做
垂直
于
，连接

平面

，

平面
，
为
在平面

上的投影，
为直线
与平面
所成角 ……10分

在平面
中，
，所以
，

直线
与平面
所成角的正切值为
……13分

18. （1）由已知可知椭圆过点
，代入方程有

，

，
　……6分

（2）点
，直线

解为
…9分 由已知
解得
　…12分

椭圆方程为
……13分

19. （1）设
的公差为
，
，
，

当
时，

当
时，
①
②

由①-②得到
，

由已知
，解为
（舍）

、
的通项公式分别为

　……7分

（2）
、

当
时，
，

设
①
②

由①-②得到

整理为

……14分

20. （1）

切线斜率
，

切线方程
……4分

（2）令
，
即

当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数

当
时，
在
上为增函数，

在
上为减函数

当
时，
在R上恒为增函数

当
时，
在
上为增函数，

在
上为减函数 ……10分

（3）由已知
在
上的最大值小于等于

当
时，
在
上单调递增

的最大值为

解为

当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数

的最大值为
或

即

，
（
）恒成立

即

（
）恒成立

当
时，
在
上单调递减

的最大值为

解为

成立

综上所述
……14分

（注：学生有其它解法时，请参照以上标准按步骤给分）

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