天津市河东区2016年高考一模考试

数学试卷（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.

1. 设集合
（
）=（ ）

A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}

2. 设变量
，
满足约束条件
则目标函数
的最小值为（　 ）

A．2　　 B．3　 C．4　　　 D．5

3. 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的

三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．9 B．10

C．11 D．

4. 在
中，
，则
的

值是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知p:函数f(x)=
－m有零点，q:|m|≤
,则p是q的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 设F1、F2是双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两个焦点，P在双曲线上，若·＝0，||·||＝2ac (c为半焦距)，则双曲线的离心率为(　 　)

A. B. C．2 D.

7. 已知
，
，规定：当
时,
；当
时,
，则
( )

A. 有最小值
,最大值1 B. 有最大值1,无最小值

C. 有最小值
,无最大值 D. 有最大值
,无最小值

8. 在平面四边形ABCD中,点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=
,CD=
，若
=15，则
的值为 ( )

A.13 B.14 C.15 D.16

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）

9. 若
，其中a、b∈R，i是虚数单位，则
= ________.

10. （2x+
）4的展开式中x3的系数是_____.

11.如图是一个程序框图，则输出的S的值是______.

12. 如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转600到OD，则PD的长为 ．

13. 在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

14.已知x,y∈R，满足2≤y≤4-x,x≥1,则
的最大值为_______.

三、解答题：（本大题6个题，共80分）

15. （本小题满分13分）

设函数f(x)=cosx·cos(x-()-
cos(,(∈(0,().已知当x=
时，f(x)取得最大值.

（1）求(的值；

（2）设g(x)=2f(
x),求函数g(x)在[0,
]上的最大值.

16. （本小题满分13分）

甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，

求：（1）乙取胜的概率；

（2）比赛打满七局的概率；

（3）设比赛局数为X，求X的分布列和数学期望．

17. （本小题满分13分）

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O,△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=
,AP=4AF.

(1)求证：PO⊥底面ABCD；

(2)求直线CP与平面BDF所成角的大小；

(3)线段PB上是否存在点M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求
的值；如果不存在，请说明理由.

18.（本小题满分13分）

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M(1，)，过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，满足·＝2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

19. （本小题满分14分）

已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f ，n∈N*，

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn；

（3）令bn＝ (n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<
对一切n∈N*成立，求最小正整数m.

20. （本小题满分14分

已知函数
.

（1）求f(x)的极值；

（2）求证：
且
.

河东区2016年高三一模考试

数学（理）答案

一、选择题 DBCB ADCB

二、填空题

9．
10. 24 11. 63 12.
13.
14.

15.解：（1）f(x)=cosx(cosxcos(+sinxsin()-
cos(

=
cos(+
sin2xsin(-
cos(

=-
cos(2x-()

由[f(x)]max=f(
)=
, 得cos(
-()=1

又 (∈(0,() ，所以 ( =

（2）由（1）知f(x)=
cos(2x-
),则g(x)=2f(
x)= cos(3x-
)

因为0≤x≤
,所以-
≤3x-
≤

所以当3x-
=0，即x=
时，[g(x)]max=1

16. 解　(1)当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．

在第一种情况下，乙取胜的概率为4＝，

在第二种情况下，乙取胜的概率为C4＝，

所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为

＋＝.

(2)比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A，记“比赛打满七局乙胜”为事件B.

则P(A)＝C4＝，

P(B)＝C4＝，

又A，B互斥，所以比赛打满七局的概率为

P(A)＋P(B)＝.

(3)随机变量X的所有可能取值为4，5，6，7

P(X＝4)＝2＝，

P(X＝5)＝C2＝，

P(X＝6)＝C3＋4＝，

P(X＝7)＝C4＋C4·＝，

所以X的分布列为

X

4

5

6

7



P













故随机变量X的数学期望EX=4×+5×+6×+7×=
.

17. 解：(1)证明：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，所以O为AC，BD中点．

又因为PA=PC，PB=PD，所以PO⊥AC，PO⊥BD， 所以PO⊥底面ABCD．

（2）解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，又由（1）可知PO⊥AC，PO⊥BD．如图，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．∵PB=PD=
∴PO=
, OB=OD=

∴A(1,0,0),C(-1,0,0),B(0,
，0)，P(0,0,
) D(0,-
，0)

∴
=(1,0,
),
=(-1,0,
)

=4
, ∴F(
,0,
)

=(
,0,
)

设平面BDF的法向量
=（x,y,z）

则
令x=1,则z=-
∴
=(1,0, -
)

∴cos<
,
>=

∴直线CP与平面BDF所成角的大小为300

（3）设
=t(0≤t≤1),则
=(1，
(1-t),
t)

若使CM∥平面BDF,需
=0

t=

所以在线段PB上存在一点M，使得CM∥平面BDF，此时
=
。

18. 解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意得解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，由

得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.

因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，

设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4·(3＋4k2)·(16k2－16k－8)>0.

整理得32(6k＋3)>0，解得k>－.

又x1＋x2＝，x1x2＝，

且

即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝，

所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝，

即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝.

所以[－2×＋4](1＋k2)＝＝，

解得k＝±.

所以k＝.于是存在直线l满足条件，

其方程为y＝x.

19. 解　(1)∵an＋1＝f＝＝＝an＋，

∴{an}是以为公差的等差数列．

又a1＝1，∴an＝n＋.

(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1

＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)

＝－(a2＋a4＋…＋a2n)＝－·

＝－(2n2＋3n)．

(3)当n≥2时，bn＝＝

＝，

又b1＝3＝×，

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn

＝×

＝＝，

∵Sn<
对一切n∈N*成立．

即<
，

又∵＝递增，

且< .∴
≥，

即m≥2 016.∴最小正整数m＝2 016.

20. 解：（1）f(x)的定义域为（0，+∞）

=0

当
>0时，
，f(x)在（0，
）是增函数

当
<0时，
，f(x)在（
，+∞）是减函数

∴f(x)在x=
处取得极大值，f(x)极大值=f(
)=
,无极小值。

（2）证明：由（1）
≤
，取a=1，∴lnx≤x-1,当x=1时取等号，

令x=n,∵n≥2,故

∴
=

故
；
；…；
<

∴