2016届天津市南开区高三一模考试数学（理）试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．

祝各位考生考试顺利！

第 Ⅰ 卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）i是虚数单位，满足(1+2i)z=–3+4i的复数z=（ ）．

（A）1–2i （B）–
+2i　

（C）1+2i （D）–4+2i

（2）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“A(B”是“a=3”的（ ）．

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（3）以下茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩（单位：分）．

甲组



乙组



　 5

8

9　　　



x　2

10

6　y　9



7　4

11

5　　　



已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为105.4，则x，y的值分别为（ ）．

（A）5，7 （B）6，8

（C）6，9 （D）8，8

（4）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为（ ）．

（A）4 （B）6

（C）7 （D）11

（5）已知实数x，y满足约束条件
则x–3y＞0的概率是（ ）．

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）已知双曲线
–
=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4cx（其中c=
）交于A，B两点，若|AB|=4c，则双曲线的离心率为（ ）．

（A）
（B）2

（C）
（D）
+1

（7）如图，已知AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连结CF交AB于点E．若AB=6，ED=4，则EF=（ ）．

（A）2 （B）

（C）
（D）

（8）在△ABC中，D为边BC上一点，tan∠BAD=
，tan∠CAD=
，AB=
AC，BC=3，则AD=（ ）．

（A）
（B）

（C）2
（D）

南开区2015～2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）

答 题 纸（理工类）

题 号

二

 三

总分







(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)





得 分



















第 Ⅱ 卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；

2．本卷共12小题，共110分．

得 分

评卷人

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。











（9）设f(x)为定义在R上的奇函数，若当x＞0时，f(x)=3x+1，则f(log3
)= ．

（10）一个棱长为
的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则此剩余部分的体积为 ．

（11）若a=
，则(x–
)6的二项展开式中的常数项为 （用数字作答）．

（12）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：
（t为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：?=2cos?，则圆C上的点到直线l距离的最小值为 ．

（13）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AC与BD交于点M，AB=2CD=4．若
?
=–1，则cos∠BMC= ．

（14）已知函数f(x)=
若函数g(x)=a–|f(x)|有四个零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2x3+x2x4的取值范围是 ．

三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

得 分

评卷人

（15）（本小题满分13分）











已知函数f(x)=2
cos?xcos(?x+
)+2sin2?x（?＞0）的最小正周期为?．

（Ⅰ）求?的值和函数f(x)的单调增区间；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间
上的取值范围．

得 分

评卷人

（16）（本小题满分13分）











某家电商场开展购物抽奖促销活动，顾客购物满500元即可获得一次抽奖机会，若每10张券中有一等奖券1张，可获价值100元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值50元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张券中任抽2张，求：

（Ⅰ）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值?（元）的概率分布列和期望E?．

得 分

评卷人

（17）（本小题满分13分）











已知在直三棱柱ABC(A1B1C1中，AB⊥BC，且AA1=2AB=2BC=2，E，M分别是CC1，AB1的中点．

（Ⅰ）证明：EM∥平面ABC；

（Ⅱ）求直线A1E与平面AEB1所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角B(EM (B1的余弦值．

得 分

评卷人

（18）（本小题满分13分）











设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n2，数列{bn}为等比数列．已知a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n–1)?3n+1+3．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设(an+1)?log3bn+2?cn=1，求证：数列{cn}的前n项和Tn＜
．

得 分

评卷人

（19）（本小题满分14分）











椭圆C：
（a＞b＞0）的两焦点为F1(–c，0)，F2(c，0)，椭圆的上顶点M满足
?
=0．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；

（Ⅱ）若以点N(0，2)为圆心，且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为
．

（ⅰ）求此时椭圆C的方程；

（ⅱ）椭圆C上是否存在两点A，B关于直线l：y=kx–1（k≠0）对称，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

得 分

评卷人

（20）（本小题满分14分）











已知函数f(x)=xlnx–x+1．

（Ⅰ）求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）若函数g(x)=af(x)–
x2（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点，求a的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．若不等式a＜mx1+(1–m)x2（m＞0）恒成立，求m的取值范围．

南开区高三一模

数学试卷（理工类）参考答案

一、选择题：

题 号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答 案

 C

 B

 B

 C

 A

 D

 D

 B



二、填空题：

（9）–6； （10）5； （11）15；

（12）
–1； （13）
； （14）[–5，–4]

三、解答题：（其他正确解法请比照给分）

（15）解：（Ⅰ）f(x)=–2
sin?xcos?x+1–cos2?x …………2分

=–
sin2?x–cos2?x+1

=–2sin(2?x+
)+1 …………4分

∵函数f(x)的最小正周期为T=
=?，

∴?=1． …………5分

∴f(x)=–2sin(2x+
)+1．

由2k?+
≤2x+
≤2k?+
，

得k?+
≤x≤k?+
，

∴函数f(x)的单调增区间为[k?+
，k?+
]，k∈Z． …………8分

（Ⅱ）∵
≤x≤?，

∴f(x)在区间[
，
]单调递增，在区间[
，?]单调递减，…………10分

f(
)=–2sin
+1=0，f(
)=–2sin
+1=3，f(?)=–2sin
+1=0，

因此f(x)的取值范围为[0，3]． …………13分

（16）解：（Ⅰ）P=1–
=1–
=
，即该顾客中奖的概率为
． …………4分

（Ⅱ）
的所有可能值为：0，50，100，150（元）． ………… 5分

P(?=0)=
=
=
， P(?=50)=
=
=
，

P(?=100)=
=
=
，P(?=150)=
=
=
，

?

0

50

100

150



P











所以?的分布列为

?????????????

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????…………11分

?的数学期望E(?)=0×
+50×
+100×
+150×
=50． …………13分

（17）解：在直三棱柱ABC(A1B1C1中，BB1⊥AB，BB1⊥BC，

又∵AB⊥BC，

∴AB⊥平面BCC1B1． …………1分

如图，以点B为原点，
，
，
分别为x轴、y轴、z轴正方向，

建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C(1，0，0)，B1(0，2，0)，

A(0，0，1)，C1(1，2，0)，A1(0，2，1)． …………3分

（Ⅰ）∵E，M分别是CC1，AB1的中点，

∴E(1，1，0)，M(0，1，
)，

∴
=(–1，0，
)．

易知平面ABC的法向量为m=(0，2，0)，

∵
·m=0，∴
⊥m．

又∵EM(平面ABC，∴EM∥平面ABC． …………6分

（Ⅱ）
=(0，2，–1)，
=(–1，1，0)，
=(–1，1，1)．

设n1=(x1，y1，z1)为面AEB1的法向量，则n1·
=n1·
=0，

即
取y1=1，则x1=1，z1=2，从而n1=(1，1，2)，

设直线A1E与平面AEB1所成角为?，

则sin?=|cos<
，n1>|=
=
=
，

即直线A1E与平面AEB1所成角的正弦值为
． …………10分

（Ⅲ）
=(1，1，0)，
=(0，1，
)．

设n2=(x2，y2，z2)为面BEM的法向量，则n2·
=n2·
=0，

即
取z2=2，则x2=1，y2=–1，从而n2=(1，–1，2)，

∴cos=
=
，

由图形可知所求二面角的平面角为钝角，

∴二面角B(EM (B1的余弦值为–
． …………13分

（18）解：（Ⅰ）当n≥2时，∵an=Sn–Sn–1=n2–(n–1)2=2n–1，

n=1时，a1=S1=1，满足上式，

∴an=2n–1． ………… 3分

∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n–1)?3n+1+3，

∴a1b1=3，a1b1+a2b2 =30，

解得b1=3，b2 =9．

∴{bn}的通项公式为bn=3n． …………6分

（Ⅱ）∴(an+1)?log3bn+2?cn=2n(n+2) ?cn =1，

∴cn=
=
(
–
) …………9分

∴Tn=
(1–
)+
(
–
)+
(
–
)+
(
–
)

+…+
(
–
)+
(
–
)

=
(1+
–
–
)=
–
(
+
)＜
．…………13分

（19）解：（Ⅰ）∵
?
=(c，b) ?(–c，b)=–c2+b2=0，

∴b=c，从而a=
c，

∴椭圆C的离心率e=
=
． …………3分

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得椭圆C的方程为
．

设P(x，y)是椭圆上任一点，依题意，|PN|的最大值为
，

则|PN|2=x2+(y–2)2=(2b2–2y2)+(y–2)2=–(y+2)2+2b2+8（–b≤y≤b）．

（ⅰ）若b≥2，则y=–2时，|PN|max=
=
，

∴b=3，此时椭圆方程为
． ………………7分

（ⅱ）若0＜b＜2，则y=–b时，|PN|max=b+2=
，

∴b=
–2＞2，矛盾．

综上得椭圆方程为
． ………………9分

②设直线AB的方程为x=–ky+m，

联立方程组

化简得：(k2+2)y2–2kmy+m2–18=0，

由△=4k2m2–4(k2+2)(m2–18)＞0，解得：9k2–m2+18＞0．

由韦达定理得：yA+yB=
，

可求得AB的中点坐标为(
，
)，

代入直线y=kx–1得
=
–1，求得m=
，

代入9k2–m2+18＞0得9k2–
+18＞0，

解得k∈(–∞，–
)∪(
，+∞)． ………………14分

（20）解：（Ⅰ）f(1)=0，f((x)=lnx，∴切线斜率f((1)=0，

曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=0． …………………3分

（Ⅱ）g(x)=a(xlnx–x+1)–
x2，g((x)=alnx–x，

设h(x)=alnx–x，从而转化为函数h(x)在(0，+∞)有两个不同零点，

而h((x)=
–1=
，