2016年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）

数 学(理)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 选择题 (共40分)

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；

参考公式：·如果事件
、
互斥，那么

柱体的体积公式
. 其中
表示柱体的底面积,
表示柱体的高.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1. 已知复数
，则复数
的虚部是

A．
B．
i C．－
D．－
i

2. 设实数
满足约束条件
，则
的最小值是

A．
B．1 C．2 D．7

3. 执行如图所示的程序框图，若输入
,则输出的

A．
B．
C．
D．

4. 下列说法正确的是

A．命题“
或
”为真命题，则命题
和命题
均为真命题；

B．命题“已知
、
为一个三角形的两内角，若
，则
”的逆命题为真命题；

C．“若
，则
”的否命题为“若
，则
”；

D．“
”是“直线
与直线
互相垂直”的充要条件.

5. 已知双曲线
的左顶点与抛物线
的焦点的距离为3,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
,则双曲线的标准方程为

A．
B．
C．
D．

6. 函数
在定义域
内可导，若
，且当
时，有
，设
，
，
，则

A．
B．
C．
D．

7. 已知
为圆
的直径，
于
，
为

的中点，
与
相交于点
，切线
与
的延长线交

于点
.若圆
的半径为1，则
的长为

A．
B．
C．
D．

8. 已知菱形
的边长为2,
,点
、
分别在边
、
上，
，
.若
, 则
的最小值

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.

9. 某学院的
三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本．已知该学院的
专业有420名学生，
专业有580名学生，则在该学院的
专业应抽取____________名学生．

10.设区域
区域
,在区域
中随机取一个点,则该点在
中的概率___________

11. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个

半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是____

12. 在
中，内角
，
，
所对的边分别是
,

则
的值为_________

13．极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴.已知直线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
.设直线
与曲线
交于
两点，弦长
___________

14．若函数
的图象与函数
的图象恰有五个交点，则实数
的取值范围是________．

三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
．

(I)求函数
的最小正周期；

(II)若
，求
的值.

16．（本小题满分13分）

国家旅游局确定2016年以“丝绸之路旅游年”为年度旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的“丝绸之路徽章”。某人利用五一假期,在该地游览了文庙，白塔寺，沙漠公园，森林公园，天梯山石窟五处景点，并收集文庙纪念徽章3枚，白塔纪念徽章2枚，其余三处各1枚.，现从中任取4枚.

(I)求抽取的4枚中恰有3个景点的概率；

(II)抽取的4枚徽章中恰有文庙纪念徽章的个数为
枚，求
的分布列和数学期望.

17．（本小题满分13分）

如图，在四棱锥
中,
平面
,

,
为
的中点,
在
上,且
.

(I)求证：
平面
；

(II)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值；

(Ⅲ) 点
是线段
上异于两端点的任意一点,若满足

异面直线
与
所成角
，求
的长.

18．（本小题满分13分）

已知椭圆
和圆
，已知圆
的直径是椭圆
焦距长的
倍，且圆
的面积为
，椭圆
的离心率为
，过椭圆
的上顶点A有一条斜率为

的直线
与椭圆
的另一个交点是B，与圆
相交于点

(I)求椭圆
的方程；

(II)当
时，求直线
的方程，并求
的面积（其中
为椭圆
的右焦点）.

19．（本小题满分14分）

已知数列
满足
，且

(I)求
的通项公式；

(II)设
，求数列
的前2
项和
；

（Ⅲ）设
，证明：
．

20．（本小题满分14分）

已知直线
是函数
的切线（其中
）.

(I)求实数
的值；

(II)若对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）若函数
的两个零点为
，证明：
+

.

2016年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）

数学理科参考答案

一、选择题:每小题5分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

C

B

B

D

A

A



二、填空题: 每小题5分，共30分.

9．50 ； 10．
； 11．
； 12．
； 13．
； 14．

三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分） 已知函数
．

(Ⅰ)求函数
的最小正周期；

(Ⅱ)若
，求
的值.

解析：(Ⅰ)

………3分

， ……………4分

因此
的最小正周期为
， ……………5分

(Ⅱ)解：由（1）可知
?? 所以
? …7分

，得
……………8分

从而
…………9分

…………11分

…………12分

……………13分

16．（本小题满分13分）

国家旅游局确定2016年以“丝绸之路旅游年”为年度旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的“丝绸之路徽章”。某人利用五一假期,在该地游览了文庙，白塔寺，沙漠公园，森林公园，天梯山石窟五处景点，并收集文庙纪念徽章3枚，白塔纪念徽章2枚，其余三处各1枚.，现从中任取4枚。

(Ⅰ)求抽取的4枚中恰有3个景点的概率；

(Ⅱ)抽取的4枚徽章中恰有文庙纪念徽章的个数为
枚，求
的分布列和数学期望.

(Ⅰ)记“抽取的4枚徽章中恰有3个景点”为事件A ……………1分

……………5分

(Ⅱ)
的可能取值为0,1,2,3, ……………6分

……………10分

所以
的分布列为

.

……………12分

. ……………13分

17．（本小题满分13分）

如图，在四棱锥
中,
平面
,

,
为
的中点,
在
上,且
.

(Ⅰ)求证：
平面
;

(Ⅱ)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值;

(Ⅲ)点
是线段
上异于两端点的任意一点,若满足

异面直线
与
所成角
，求
的长.

解：以A为原点，建立如图的空间直角坐标系

……2分

(Ⅰ)设
,