天津市2016高三预测金卷

理科数学

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.设常数
，集合
，若
，则
的取值范围为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

2.函数
的图像与函数
的图像的交点个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

3.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是

A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法

4.已知
，则双曲线
与
的（ ）

A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等

5.已知下列三个命题:

①若一个球的半径缩小到原来的
, 则其体积缩小到原来的
;

②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;

③直线x + y + 1 = 0与圆
相切.

其中真命题的序号是:

(A) ①②③ (B) ①②

(C) ②③ (D) ②③

6.执行如图所示的程序框图，若输入

A．
B．
C．
D．

7.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，

数据的分组一次为

若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是

（A）
（B）

（C）
（D）

8.设函数

（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值

（C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.设
，
是纯虚数，其中i是虚数单位，则

10.12.若

11.设常数
，若
的二项展开式中
项的系数为
，则

12.如图，圆
上一点
在直线
上的射影为
，点
在半径
上的射影为
。若
，则
的值为 。

13.已知等比数列

.

14．设
是双曲线
的两个焦点，P是C上一点，若
且
的最小内角为
，则C的离心率为___。

三、解答题：本大题共6小题,共80分.

15.（本小题满分13分）

已知函数
。

（I）若
是第一象限角，且
。求
的值；

（II）求使
成立的x的取值集合。

16. (本小题满分13分)

如图，
是圆
的直径，点
是圆
上异于
的点，直线
平面
，
，
分别是
，
的中点。

（I）记平面
与平面
的交线为
，试判断直线
与平面
的位置关系，并加以证明；

（II）设（I）中的直线
与圆
的另一个交点为
，且点
满足
。记直线
与平面
所成的角为
，异面直线
与
所成的角为
，二面角
的大小为
，求证：
。

17. (本小题满分13分)

一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).

(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.

(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.

18. (本小题满分13分)

已知等比数列
满足：
，
。

（I）求数列
的通项公式；

（II）是否存在正整数
，使得
？若存在，求
的最小值；若不存在，说明理由。

19. (本小题满分14分)

在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为
的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为
的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.

20.（本小题满分14分）

已知函数
，
∈R．

(1)当
时讨论函数
的单调性；

(2)当
时，
≤
恒成立，求
的取值范围．

试卷答案

1.B 2.B 3.D 4.D

双曲线
的离心率是
，双曲线
的离心率是
，故选D

5.C 6.A 7.B 8.D

9.-2 10.3 11.-2 12.由射影定理知

13.63 14.

15.

16.（I）
，
，

又

（II）连接DF，用几何方法很快就可以得到求证。（这一题用几何方法较快，向量的方法很麻烦，特别是用向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差。）

17. （I）解：设“取出的4张卡面中，含有编号为3的卡片”为事件A，则
。所以，取出的4张卡处中，含有编号为3的卡片的概率为

（II） 解：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.

,

所以，随机变量X的分布列是

X

1

2

3

4



P











随机变量X的数学期望

18（I）由已知条件得：
，又
，
，

所以数列
的通项或

（II）若
，
，不存在这样的正整数
；

若
，
，不存在这样的正整数
。

19. （Ⅰ）由
，得
.故圆Ｃ的圆心为点

从而可设椭圆Ｅ的方程为
其焦距为
，由题设知

故椭圆Ｅ的方程为：

（Ⅱ）设点
的坐标为
，
的斜分率分别为
则
的方程分别为
且
由
与圆
相切，得

　　
，

即　　　　　

同理可得　　
.

从而
是方程
的两个实根，于是

　　　　　　　
　　　　　　　①

且

由
得
解得
或

由
得
由
得
它们满足①式，故点Ｐ的坐标为

，或
，或
，或
.

20. (Ⅰ)
的定义域为

，

若
则

在
上单调递增，若
则由
得
，当
时，
当
时，
，
在
上单调递增，在
单调递减.所以当
时，
在
上单调递增，

当
时，
在
上单调递增，在
单调递减. (Ⅱ)
,

令
,

,令
,

,

(2)
,

以下论证
.

,

,

,

综上所述，
的取值范围是

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