天津市2016高三预测金卷

文科数学

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.若复数
（a∈R,i是虚数单位）是纯虚数，则a的值为 ( )

A.6 B.-6 C.
D.

2.命题“若
，则
”的逆否命题是（　　）

A．若
，则
B． 若
，则

C．若
，则
D． 若
，则

3.将
图像按向量
平移，则平移后所得函数的周期及图象的一个对称中心分别为（ ）

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

5.设不等式组
表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点

的距离大于2的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.如右图的流程图，若输出的结果

，则判断框中应填

A．

B．

C．

D．

7.直线
的参数方程是（ ）

A
（t为参数） B
（t为参数）

C
（t为参数） D
（
为参数）

8.已知双曲线
,过点C（0，1）且斜率为1的直线交双曲线的两渐近线于A、B两点,若2
，则双曲线的离心率为

A
B
C
D

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.如果不等式组
表示的平面区域是一个直角三角形，则
=_______________.

10.由正整数组成的一组数据
，其平均数和中位数都是
，且标准差等于
，

则这组数据为__________。（从小到大排列）

11.函数
的定义域为_________

12.已知
，
.若
或
，则
的取值范围是 .

13.在△ABC中，若
，
，
，则
的大小为 .

14.已知
为等差数列，
为其前
项和.若
，
，则
；
= .

三、解答题：本大题共6小题,共80分.

15. （本小题满分13分）已知函数
的部分图像如图5所示.

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数
的单调递增区间.

16. （本小题满分13分）已知
是各项均为正数的等比数列,
是等差数列,且
,
.

（I）求
和
的通项公式；

（II）设
,求数列
的前n项和.

17. （本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

（Ⅰ）证明：BD⊥PC；

（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.

18. （本小题满分13分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量

1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件及以上



顾客数（人）



30

25



10



结算时间（分钟/人）

1

1.5

2

2.5

3



已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.

（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）

19.(本小题满分l4分)已知函数
，
∈R．

(1)当
时讨论函数
的单调性；

(2)当
时，
≤
恒成立，求
的取值范围．

20. (本小题满分l4分)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为
的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为
的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.

试卷答案

1.B 2.
【解析】因为“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”，所以 “若α=
，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠
”.

3.C

4.B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
，因此该几何体表面积
，故选B。

5.D【解析】题目中
表示的区域表示正方形区域，而动点
可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此
，故选D

6.B 7.C 8.D

9. 【答案】0或

10. 【答案】这组数据为_________

【解析】不妨设
得：

①如果有一个数为
或
；则其余数为
，不合题意

②只能取
；得：这组数据为

11. 【答案】定义域为______

【解析】
中的
满足：
或

12. 【答案】

【解析】首先看
没有参数，从
入手，显然
时，
，
时，
，而对
或
成立即可，故只要
时，
（*）恒成立即可。当
时，
，不符合（*），所以舍去；当
时，由
得
，并不对
成立，舍去；当
时，由
，注意
，故
，所以
，即
，又
，故
，所以
，又
，故
，综上，
的取值范围是
。

13. 【答案】

【解析】
，而
，故
。

14. 【答案】1，

【解析】
，所以
，
。

15.（Ⅰ）由题设图像知，周期
.

因为点
在函数图像上，所以
.

又
即
.

又点
在函数图像上，所以
，故函数f（x）的解析式为

（Ⅱ）

由
得

的单调递增区间是

16（I）（I）设
的公比为q,
的公差为d,由题意
,由已知,有
消去d得
解得
,所以
的通项公式为
,
的通项公式为
.

（II）由（I）有
,设
的前n项和为
,则

两式相减得

所以
.

17.（Ⅰ）因为

又
是平面PAC内的两条相较直线，所以BD
平面PAC，

而
平面PAC，所以
.

（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD
平面PAC，

所以
是直线PD和平面PAC所成的角，从而

.

由BD
平面PAC，
平面PAC，知
.

在
中，由

，得PD=2OD.

因为四边形ABCD为等腰梯形，
，所以
均为等腰直角三角形，

从而梯形ABCD的高为
于是梯形ABCD面积

在等腰三角形ＡＯＤ中，

所以

故四棱锥
的体积为
.

18.（Ⅰ）由已知得
，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:

(分钟).

（Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，
分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为
分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得

.

是互斥事件，

.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为
.

19.解：(Ⅰ)
的定义域为

，

若
则

在
上单调递增，若
则由
得
，当
时，
当
时，
，
在
上单调递增，在
单调递减.所以当
时，
在
上单调递增，

当
时，
在
上单调递增，在
单调递减. (Ⅱ)
,

令
,

,令
,

,

(2)
,

以下论证
.

,

,

,

综上所述，
的取值范围是

20.（Ⅰ）由
，得
.故圆Ｃ的圆心为点

从而可设椭圆Ｅ的方程为
其焦距为
，由题设知

故椭圆Ｅ的方程为：

（Ⅱ）设点
的坐标为
，
的斜分率分别为
则
的方程分别为
且
由
与圆
相切，得

　　
，

即　　　　　

同理可得　　
.

从而
是方程
的两个实根，于是

　　　　　　　
　　　　　　　①

且

由
得
解得
或

由
得
由
得
它们满足①式，故点Ｐ的坐标为

，或
，或
，或
.

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/