天津一中2015-2016-2高三数学（理）第二次考前冲刺热身试卷

本试卷共三道大题，共150分，考试用时120分钟．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．

（1）若集合 ，那么 （ ）．

（A）

（B）

（C）

（D）



（2）已知实数
满足
则目标函数
的最大值为（ ）．

（A）

（B）

（C）4

（D）



（3）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入
的值为1，则输出
的值为（ ）．

（A）
（B）

（C）
（D）





（4）已知等差数列
的公差
,且
成等比数列,若
是数列
的前
项的和,则
的最小值为（ ）．

（A）

（B）

（C）

（D）



（5）已知
,
,且
是
的必要不充分条件,则实数
的取值范围是（ ）．

（A）

（B）

（C）

（D）



（6）已知双曲线 与抛物线
共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为 ，则
的值是（ ）．

（A）

（B）

（C）4

（D）



（7）设
且
，
，
，则
的大小关系是（ ）．

（A）

（B）

（C）

（D）



（8）设函数
在
上存在导数
，对任意的
，有
，且在

上
，若
，则实数
的取值范围为（ ）．

（A）

（B）

（C）

（D）



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分﹒把答案填在题中横线上．

（9）在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于第 象限．

（10）几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是 ．

（11）如图，⊙
是以
为直径的圆，点
在圆上，在
和
中，
，

，
的延长线与
的延长线交于点
,

若
，
，则
的长为 ．

（12）已知二项式
的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，

展开式中
的系数等于 ．

（13） 在锐角△
中，
分别为角
所对的边，且
，
＝
,且△
的面积为

,则
=　　　　　　　．

（14）在矩形
中，
为矩形内一点，且
若
则
的最大值为 　　　　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

设函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）若函数
与
的图象关于直线
对称，求当
时

的最大值．

（16）（本小题满分13分）

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．

(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(Ⅱ)用
，
分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记
，求随机变量
的分布列与数学期望
．

（17）（本小题满分13分）

如图，已知正方形
和矩形
所在的平面互相垂直，
，
，

是线段
的中点.

（Ⅰ）求证:
//平面
；?

（Ⅱ）求二面角
的大小；

（Ⅲ）试在线段
上确定一点
，使得
与
所成的角是
.

（18）（本小题满分13分）

已知数列
的前
项和
，数列
满足
．

（Ⅰ）求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，数列
的前
项和为
，求满足
的
的最大值．

（19） （本小题满分14分）

椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，焦距为
，且与椭圆

有相同离心率．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆
交于不同的
两点，且椭圆
上存在点
，满足
，（
为坐标原点），求实数
取值范围．

（20） （本小题满分14分）

已知函数
.

(Ⅰ) 若
,证明:函数
是
上的减函数；

(Ⅱ) 若曲线
在点
处的切线与直线
平行,求
的值；

(Ⅲ) 若
，证明:
(其中
是自然对数的底数).

数学（理）第二次冲刺热身参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

（1）A. 提示：

（2）C. 提示：

相交于点
，

∴
．

（3）B. 提示：

（4）A．提示：
．

得到
．

所求的式子
．

（5）C．提示：

，由已知得
，
．

（6）D．提示：由抛物线的焦点
①

设公共点
，代入到抛物线方程得到
，

从而
② 得到
．

（7）B．提示：提示：

．

．
．

（8）C．提示：令

得到
，
为奇函数．又
，
单调递增，而由奇函数性质得到
上单调递增. 已知
，且
，
．
解得
．

二、填空题：本大题6小题，每小题5分，满分30分．

（9）三． 提示：
．

（10）
提示： 几何体是一个半圆锥与一个四棱锥的组合体，设圆锥的体积为
，四棱锥的体积为
，高为
，则

，

．

（11）
提示：连接
，得
．

又
，
．有
．

，

的切线．于是
，
．

由
，得到△
与△
相似．

． 已知
为⊙
的直径，则
是直角．

在
中，由勾股定理，解得
．

（12）
．提示：令
，得
，即
，
．

．

（13）
．提示：由正弦定理，
．

在锐角△
中，
．

由余弦定理，
，即
．

．

（14）
． 提示：以A为原点AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系则
．

设
，则
． 代入

整理得
又因为

（当且仅当
时取得最大值）．

三、解答题：本大题6小题，满分80分．

（15） 本题满分13分．

解：（Ⅰ）
=
---------------------2分

=
=
．---------------------4分

故
的最小正周期为
． -----------------------------------6分

(Ⅱ)在
的图象上任取一点
，它关于
的对称点
---7分

　　由题设条件，点
在
的图象上，从而

　　　　　　　　　 =
=
-------------------10分

当
时，
， ------------------------------------------11分

因此
在区间
上的最大值为
.--------13分

（16） 本题满分13分．

解：(Ⅰ)依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为
，去参加乙游戏的概率为
．

设“这4个人中恰有
人去参加甲游戏”为事件
，------------------------1分

则
．

这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
．………………4分

(Ⅱ)
的所有可能取值为0,2,4． …………………………………………5分

由于
与
互斥，
与
互斥，

， …………………………………………7分

， …………………………………………9分

． …………………………………………11分

所以
的分布列是

0

2

4













所以随机变量
的数学期望
． ………………………13分

（17） 本题满分13分．

解: (Ⅰ)记
与
的交点为
，连接
，

∵四边形
是矩形，
分别是
的中点，

∴四边形
是平行四边形，∴
∥
．…………………………2分

∵
平面
，
平面
，∴
∥平面
．……………………4分

（Ⅱ）?建立如图所示的空间直角坐标系

?则点
的坐标分别是
，（0,0,1）,

点
的坐标分别是
,
，

∴
． …………………………………5分

?∵
，∴
平面
．

∴
为平面
的法向量．…………………………………6分

又∵
，

，

∴
为平面
法向量． …………………………………7分

又∵
，∴
与
的夹角是60o．…………………………………8分

即所求二面角
的大小是60o． …………………………………9
分

（Ⅲ）设