考试时间：2016年4月14日下午15:40～17:40

南山中学高2016届三诊热身考试

数学试题（理工类）

编辑： 龙小平

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知i是虚数单位，a为实数，z为纯虚数，且1+z=a+
，则z=（　　）

　 A．1 B．i C．-1 D．﹣i

2、下列有关命题说法正确的是（　 　）

　 A． 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”

　 B． 命题“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1＞0”

　 C． 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题

　 D． 若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题

3、执行下图的程序框图，若输入的
分别为1,2,3，则输出的
=（ ）

.

.

.

.

4、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．5

5、已知集合A={x|2x2﹣x﹣3＜0}，B={x|y=lg
}，在区间（﹣3，3）上任取一实数x，则“x∈A∩B”的概率为（　　 ）

　 A．
B．
C．
D．

6、设x，y满足约束条件
，若目标函数
的最大值为2，则函数
的图象向右平移
后的表达式为（　　 ）

A．
B．
C．
D．y=sin2x

7、已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是（　 　）

①若m∥n，m?α，n?β，则α∥β； ②若m?α，n?β，α∥β，l⊥m，则l⊥n；

③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n； ④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n．

A．③ B．②③ C．②④ D．③④

8、将标号为
的
个小球放入
个不同的盒子中，若每个盒子放
个，其中标

为
的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有（ ）

A．12种 B．16种 C．18种 D．36种

9、已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1?e2的取值范围是（　　）

　 A．（0，
） B．
C．
D．

10、设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx，f（e）=
，则下列结论正确的是（　 　）

A．f（x）在（0，+∞）上单调递增 B．f（x）在（0，+∞）上单调递减

C．f（x）在（0，+∞）上有极大值 D．f（x）在（0，+∞）上有极小值

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、若
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于　　　　　　　　．

12、已知抛物线y2=4x上有一条长为6的动弦AB，则弦AB的中点到y轴的最短距离是　　　

13、已知直线l:x＋y＋m＝0(m
R)与圆C:(x＋2)2＋(y－1)2＝4相交于A,B两点，

则
的最大值为　　　　．

14、若x，y都是锐角，且sinx=
，tany=
，则x+y=　　　　　　．

15、已知集合M={f(x)
}，有下列命题

①若f(x)=
，则f(x)
M；

②若f(x)=2x，则f(x)
M；

③若f(x)
M，则y=f(x)的图像关于原点对称；

④若f(x)
M，则对于任意实数x1,x2(x1
x2)，总有
﹤0成立；

其中所有正确命题的序号是_______　　　.(写出所有正确命题的序号)

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分12分）设函数f（x）=
?
，其中向量
=（2cosx，
cosx），

=（cosx，2sinx）．

（1）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2≥ab，求f（C）的取值范围．

17、（本小题满分12分）某市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试成绩满分为
分，规定测试成绩在
之间为体质优秀；在
之间为体质良好；在
之间为体质合格；在
之间为体质不合格。现从某校高三年级的
名学生中随机抽取
名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：

（1）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；

（2）根据以上
名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取
名学生，再从这
名学生中选出
人，记
为选出的
名学生中体质为良好的人数，求
的分布列及数学期望。

18、（本小题满分12分）已知{an}是各项都为正数的数列，其前 n项和为 Sn，且Sn为an与
的等差中项．

（1）求证：数列
为等差数列；

（2）设
，求{bn}的前n项和Tn．

19、（本小题满分12分）如图：
是直径为2
的半圆，O为圆心，C是
上一点，且
．DF⊥CD，且DF=2，BF=2
，E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．

（1）求证：QR∥平面BCD；

（2）求平面BCF与平面BDF所成二面角的余弦值．

20、（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且经过点
，

它的一个顶点恰好经过抛物线
的准线，

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l的方程为x=﹣4．AB是经过椭圆左焦点F的任一弦，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1、k2、k3，试探索k1，k2，k3之间有怎样的关系式？并给出证明过程．

21、（本小题满分14分）已知函数
的导函数f'（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为0（其中e=2.71828…）

（1）求a，b的值；

（2）设
，若
有极值.

（i）求m的取值范围；

（ii）试比较
的大小并证明你的结论．

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