秘密★启用前

南山中学2016级绵阳三诊热身考试

数 学（文史类）

命题人:何先俊

本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）.第一部分1至3页，第二部分4至6页，共6页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，只交回答题卡，试题卷学生自己保留.

第一部分（选择题 共50分）

注意事项：

1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.

2．本部分共10小题，每小题5分，共50分.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合
,
.若
,则实数

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

2. 复平面内,复数
,则复数z对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

3. 下列函数中,在定义域内是奇函数,且在区间(-1,1)内仅有一个零点的函数是

（A）
（B）

（C）
（D）

4. 为了得到
的图象,只需将
的图象沿x轴

（A）向左平移
个单位 （B）向右平移
个单位

（C）向左平移
个单位 （D）向右平移
个单位

5. 执行如图所示的程序框图,如果输入的
,则输出的M等于

（A）3 （B）

（C）
（D）

6. 若
则下列等式不正确的是

（A）
（B）

（C）
（D）

7. 已知点A为抛物线C:x2=4y上的动点(不含原点),过点A的切线交x轴于点B,设抛物线C的焦点为F,则∠ABF一定是

（A）钝角 （B）锐角

（C）直角 （D）上述三种情况都可能

8. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,其俯视图如下所示：

则下列命题中正确的是

（A）四棱锥四个侧面中不存在两组侧面互相垂直

（B）四棱锥的四个侧面可能全是直角三角形

（C）若该四棱锥的左视图为直角三角形,则体积为

（D）若该四棱锥的正视图为正方形,则四棱锥的侧面积为

9. 已知0

（A）
（B）

（C）
（D）

10. 如图,曲线Γ在顶点为O的角α的内部,A、B是曲线Γ上任意相异两点,且α≥∠AOB,我们把满足条件的最小角叫做曲线Γ相对于点O的“确界角”.已知O为坐标原点,曲线C的方程为
,那么它相对于点O的“确界角”等于

（A）
（B）

（C）
（D）

第二部分(非选择题 共100分)

注意事项：

1. 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效．

2. 本部分共11小题，共100分.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.
.

12. 在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=
,点P是线段BD上的一点,则
等于 .

13. 已知由不等式组
所确定的平面区域为
,则能够覆盖区域
的最小圆的方程为 .

14. 如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.

15. 设
为两个不同的点,直线l:ax+by+c=0,
.有下列命题：

①不论
为何值,点N都不在直线l上；

②若直线l垂直平分线段MN,则
=1；

③若
=-1,则直线l经过线段MN的中点；

④若
>1,则点M、N在直线l的同侧且l与线段MN的延长线相交.

其中正确命题的序号是???????????（写出所有正确命题的序号）.

三、解答题：共6小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题共12分）

已知等差数列
的前
项和为
,且满足
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
且
成等比数列,求正整数
的值.

17.（本小题共12分）

设关于
的方程
.

（Ⅰ）若m∈{1,2,3}，n∈{0,1,2}，求方程有实根的概率；

（Ⅱ）若m、n∈{-2,-1,1,2}，求当方程有实根时，两根异号的概率.

18. （本小题共12分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）设
，求
的值.

19.（本小题共12分）

如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
.

（Ⅰ ）过
的截面交
于
点,若
为等边三角形,求出点
的位置；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，求四棱锥
与三棱柱
的体积比.

20.（本小题共13分）

已知离心率为
的椭圆C:
经过点(0,-1),且F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,不经过F1的斜率为k的直线l与椭圆C相交于A、B两点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如果直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列,求k的取值范围,并证明AB的中垂线过定点.

21. （本小题共14分）

函数
.

（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；

（Ⅱ）若
，对任意的
有
恒成立，求实数b的取值范围.

南山中学2016级绵阳三诊热身考试

数 学（文史类）答案

一、选择题（50分）

CBABC DCCBD

二、填空题（25分）

11.0 12.2 13.
14. 300 15.①③④

三、解答题（75分）

16.（本题满分12分）

(Ⅰ)因为在等差数列
中有
，
.……………2分

所以
. ……………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，且
，所以
，……………6分

于是
，……………8分

所以
.又
，
，

由已知可得
，即
，

整理得
，
.……………10分

解得
(舍去)或
.故
.……………12分

17. （本题满分12分）

解：

（Ⅰ）m与n的所有可能结果为9种. ……………………………………………2分

为使
，则当m=3时，n=0，1，2；

当m=2时，n=0，1，2；

当m=1时，n=0，1.

共有8种结果. ………………………………………………4分

(Ⅱ)由条件知，在
的条件下，求n<0的概率.

当m=-2时，n=-2，-1，1，2；

当m=-1时，n=-1，1；

当m=1时，n=-1，1；

当m=2时，n=-2，-1，1，2.

共有12种结果. ……9分

其中使n为负数的，只的6种情况，故所求概率等于
……………12分

18. （本题满分12分）

解：(Ⅰ)
……………2分

由
得

……………4分

(Ⅱ)

……………7分

①……………10分

……………12分

19. （本题满分12分）

(Ⅰ)

……………4分

(Ⅱ)
……………7分

……………10分

……………12分

20. （本题满分13分）

(Ⅰ)由条件知
，且b=1，解得a2=2， ……………2分

椭圆C的方程为
.……………4分

(Ⅱ)令直线l的方程为
，

代入椭圆方程
得:
.

由
得
，解之得
.

令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
.……………6分

由条件得
，

即
.

因为
，
，即
.……………8分

将
代入
中，得

..……………8分

由上知，
，于是得AB中点坐标为
，

中垂线方程为:
. .……………10分

将
代入得:
，

整理得:
. .…………12分

故AB的中垂线过定点
..……………13分

21.(Ⅰ)
， ..……………2分

..……………4分

..……………6分

(Ⅱ)首先，对于任意
，
恒成立，

则
...……………8分

因为函数
在
上是减函数，

所以
.
..……………10分

其次，对任意的
，不等式
恒成立，

于是
...……………12分

令
，则
，所以函数
在
上是增函数，

于是
，故
，即b的取值范围是
...……………14分

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