天全中学高三3月月考数学试题（理科）

注意：请同学们将试题的答案必须写在答题卷上，否则不给分！

一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．设集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．已知
是虚数单位，若复数
满足
，则
的共轭复数
为( )

A．
B．
C．
D．

3．下列有关命题的说法正确的是( )

A．命题“若
”的否命题为：“若
”；

B．“
”是“直线
互相垂直”的充要条件

C．命题“
，使得
”的否定是：“
，均有
”；

D．“已知A、B为一个三角形的两内角，若A=B，则
”的逆命题为真命题.

4．要得到函数
的图象，只要将函数
的图象( )

A．向右平移
个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变

B. 向左平移
个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变

C. 向左平移
个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变

D. 向右平移
个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则这个几何体的体积是( )

A．144 B．120

C．80 D．72

各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生填报专业志愿的方法有( )种.

A．180 B．200 C．204 D．210

7．执行如图所示的程序框图，则输出的
为( )

A．2 B．

C．
D．

若
在不等式组
所表示的平面区域内，则
的最小值为( ) A．
B．
C．5 D．4

9．设
是双曲线
的右焦点，
为坐标原点，点
分别在双曲线的两条渐近线上，
轴，
∥
，
，则该双曲线的离心率为( )

A．
B．
C．
D．

10．已知定义域为R的偶函数
满足对任意的
，有
，且当
时，
.若函数
在
上恰有三个零点，则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题:(本大题共5题,每小题5分,共25分)

11．若
的二项展开式中所有项的二项式系数和为
，则常数项为 ▲ （数字作答）

12．已知函数
，则
▲

13．海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东
的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东
的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 ▲ 小时

14．在
中，内角
所对的边分别为
．已知
，
，
，设
的面积为
，
，则
的最小值是 ▲

15．若点M是以椭圆
的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M作该圆的切线交椭圆E于P，Q两点，椭圆E的右焦点为
，则△
的周长是 ▲

三、解答题：（本大题共6小题，共75分)

16．（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为
，已知
，且
。

▲



（1）求角A的大小；（2）设函数
，求函数
的单调递增区间

17.（本小题满分12分）某居民小区有
三个相互独立的消防通道，通道
在任意时刻畅通的概率分别为
．

（1）求在任意时刻至少有两个消防通道畅通的概率；

（2） 在对消防通道
的三次相互独立的检查中，记畅通的次数为随机变量
，求
的分布列和数学期望
．

▲



18．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，
，
，
平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2

（1）若棱AP的中点为H，证明：HE∥平面ABCD

（2）求二面角
的大小

▲





19．（本小题满分12分）已知等比数列
、等差数列
，满足
且公比不为0.

（1）求数列
，
的通项公式； （2）求数列
的前
项和

▲





20.（本小题满分12分）如图所示，已知椭圆
的方程为
，
分别是椭圆
的左、右焦点，直线
与椭圆
交于不同的
两点．

(Ⅰ) 若
，
，点
在直线
上，

求
的最小值；

(Ⅱ) 若以线段
为直径的圆经过点
，且原点
到

直线
的距离为
．

(1)求直线
的方程；

(2)在椭圆
上求点
的坐标，使得
的面积最大．

▲





21．(本小题满分14分)已知函数
.（其中
为自然对数的底数,）

（1）若曲线
过点
，,求曲线
在点
处的切线方程.

（2）若
的两个零点为
且
,求
的值域.

（3）若
恒成立，试比较
与
的大小，并说明理由.

▲





天全中学高三3月月考数学参考答案（理科）

选择题 BCDAB ADCDB

11．－20 12．8 13．
14．
15．6

16．解：（1）在△ABC中，因为
，所以
。…………2分

在△ABC中，因为
，由正弦定理可得
，

所以
，
，
，故
…………6分

（2）由（1）得

……………9分

令
，得

即函数
的单调递增区间为
……………12分

17．解:(Ⅰ)由已知通道
畅通的概率分别为
，

设“至少有两个消防通道畅通”为事件
，

……… 4分

． … 6分

(Ⅱ)
的所有可能为
，

，
，

，
． … 10分
























的分布列为：

数学期望
． ……………12分

18．解：（1）∵底面ABCD是平行四边形，
，
，∴底面ABCD是边长为2的正方形，取AD的中点G，连接HE，HG，GC，根据题意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，则四边形EHGC是平行四边形 ……………3分

所以HE∥GC，HE
平面ABCD，GC
平面ABCD，故HE∥平面ABCD ………5分

（2）由（1）知，DA，DC，DP两两互相垂直，建立空间直角坐标系
如图所示，设PA的中点为N，连接DN，则D（0,0,0），A(2,0,0)，B（2,2,0），E（0,2,1），P（0,0,2），N（1,0,1），易知DN⊥PA，DN⊥AB，所以DN⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为
……………7分

设平面PBE的法向量为
，因为
，
，由
得
，取
，则
，
，所以
为平面PBE的一个法向量。 ……………9分

所以

从图形可知，二面角A-PB-E是钝角，所以二面角A-PB-E的大小为
……12分

19．解：（1）设
的公比为q，则由
有
从而
…………3分

，
………6分

（2）由（1）知
则

……………12分

20.解：(Ⅰ) 由椭圆方程可得，焦点坐标为
，
． …… 1分

当
，
时，直线
的方程为
． ………2分

则可得
关于直线
的对称点为
． ……3分

的最小值为：
． …… 4分

(Ⅱ)(1)设点
的坐标分别为
．

由原点
到直线
的距离为
，得
，即
．① 5分

将
代入
，得
，

，

． ………… 6分

由已知，得
，即
． ……… 7分

，

即
，

，

化简，得
．② ………… 8分

由①②，得
，即
，
．
，

，满足
．
的方程为
． … 9分

（2）由（1）可知，
是定值，当椭圆
上的点
使得
的面积最大时，点
到直线
的距离为最大，即点