雅安市高中2013级第三次诊断性考试

数学试题(文科)

（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）

一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=

A. 5-5i

B. 7-5i

C. 5+5i

D. 7+5i



2、已知集合A=
，集合B=
，则

A.{x|1

B.{x|1≤x≤2}

C.{x|1≤x<2}

D.{x|0≤x≤2}



3、已知命题
，
，那么“
为真命题”是“
为真命题”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件



C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件



4、相距1400m的A、B两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3s，已知声速340m/s，则炮弹爆炸点所在曲线的离心率为

A.

B.

C.

D. 1





5、如图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是

A．7 B．8

C．9 D．10

6、直线
被圆
截得的弦长为

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6



7、已知
=Asin(
)(A>0，
>0，0<
<
)，函数
的图象如图所示，则
的值为

A.
B.

C．
D．

8、一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别为

A. 5和2

B. 5和3

C. 5和4

D. 4和3













9、假设你家订了一份牛奶,送奶工人在早上6:00-7:00之间把牛奶送到你家,你离开家去上学的时间在早上6:30-7:30之间,则你在离开家前能收到牛奶的概率是

A.

B.

C.

D.



10、设函数
,对任意
都有
成立,则

A.
B.
[

C.
D.
的大小不确定.

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11、
_________________.

12、抛物线
的焦点坐标为 .

13、若
且
则
的最小值为______.

14、在
中，AB=2，AC=3，
，则BC=________.

15、已知关于
的不等式
的解集为
，若集合
中恰好有两个整数，则实数
的取值范围是______________.

三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16、（本题满分12分）

某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14)；第二组[14，15)……第五组[17，18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（Ⅰ）若成绩小于14秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中优秀的人数；

（Ⅱ）请估计本年级这800人中第三组的人数；

（Ⅲ）若样本第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取一名学生组成一个实验组，求在被抽出的2名学生中恰好为一名男生和一名女生的概率.

17、（本题满分12分）

等差数列
中,
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式;

(Ⅱ)设
,求数列
的前n项和

18、（本题满分12分）

已知函数
.

(I)求函数
图象的对称中心；

(Ⅱ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若△ABC为锐角三角形且
，求
的取值范围．

19、（本题满分12分）

圆
上两点C，D在直径AB的两侧(如图甲), 沿直径AB将圆
折起形成一个二面角(如图乙), 若∠DOB的平分线交弧
于点G，交弦BD于点E,F为线段BC的中点.

（Ⅰ）证明:平面OGF∥平面CAD.

（Ⅱ）若二面角C-AB-D为直二面角，且AB=2，
求四面体FCOG的体积.

20、（本题满分13分）

设椭圆
：＋＝1(a＞b＞0)，其长轴长是其短轴长的2倍，椭圆上一点到两焦点的距离之和为4．

（Ⅰ）求椭圆
的方程．

（Ⅱ）设曲线
的上、下顶点分别为A、B，点P在曲线
上，且异于点A、B，直线AP，BP与直线
y=
分别交于点M，N．

(1)设直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；

(2)求线段MN长的最小值．

21、（本题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，求
的极值.

（Ⅱ）若曲线
在点
处切线的斜率为3，且
对任意
都成立，求整数b的最大值.

雅安市高中2013级第三次诊断性考试

数学试题(文科)

参考答案

一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

A

B

D

C

A

B

D

A



二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11、2 12、(0,1) 13、3 14、
15、
或
.

三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16、（本题满分12分）

(1) 由题可知成绩小于14秒的频率为0.06

所以该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为50
0.06=3(人) …………2分

(2) 样本成绩属于第三组的频率为0.38，故本年级800名学生中成绩属于第三组的人数为800
0.38=304(人) …………………………………………………4分

(3) 由题可知第一组中有一女二男，第五组一男三女

设第一组学生为x，1，2，第五组学生为a，b，c，3，（用字母表示女生，用数字表示男生），

则所有的抽取结果为：xa，xb，xc，x3，1a，1b，1c，13，2a，2b，2c，23共12种，其中仅有

x3，1a，1b，1c，2a，2b，2c表示一男一女共7种。

所以所求事件的概率为
. ……………………………………12分

17、（本题满分12分）

解:(Ⅰ)设数列

且
解得

所以数列
……………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
所以

所以

两式相减得

……………10 分

………………………12 分

18、（本题满分12分）

解: (1)

…………………………4分

由
解得

故所求对称中心为

………………………………6分

（2）由
解得
，
，所以

又
为锐角三角形，故

所以
，即
的取值范围是
………………12分

19、（本题满分12分）

解析：⑴

又OF

…………………………………..……2分

又

OG

又可知AD
……………………..…4分

又OG

…………………………………………5分

又

平面OGF∥平面CAD…………………………..……6分

⑵过G作GH
,垂足为H,

又二面角C-AB-D为直二面角，即平面CAB

由已知得

则CO
,

…………………………8分

又

AD=1,又

ADGO为菱形，

GH=
……………………………………………………………………………………………10分

又可知
…11分

=
…………………12分

20、（本题满分13分）

(Ⅰ)C的方程为：
……………………………………………………4分

(Ⅱ) (1)由题意，A(0,1)，B(0，－1)，令P(x0，y0)，则x0≠0，

∴直线AP的斜率k1＝，BP的斜率k2＝.

又点P在椭圆上，∴＋y＝1(x0≠0)，

从而有k1k2＝＝＝－.

即k1k2为定值． ……………………7分

(2)由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k1(x－0)，

直线BP的方程为y－(－1)＝k2(x－0)，

由得

由得

∴直线AP与直线l的交点M，

直线BP与直线l的交点N.

又k1k2＝－，

∴|MN|＝＝＝＋|4k1|

≥2＝4，

当且仅当＝|4k1|，即k1＝±时等号成立，

故线段MN长的最小值是4. ………………………………………………13分

21、（本题满分14分）

解：(Ⅰ) 解：（1）
时，

∴

∴

当x变化时，
与
变化如下表：

X











－

0

+





递减

极小值

递增



∴当
时，
有极小值
. ………………………………………..4分

（2）易求得
………………………………………………………….……………………..6分

故问题化为
在
上恒成立

令
，则

又令
，

则
在
上恒成立,

∴
在
递增,

又∵

∴
在
上有唯一零点，设为
,则

且
①

∴当
时，
；当
时，
，

∴当
时，
；当
时，
，

∴
在
上递增，在
上递减，

∴

，将①代入有

所以

所以整数b的最大值为4. …………………………………………………14分

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/