四川省雅安市高中2013级第三次诊断性考试

数学试题(理科)

（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）

一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=

A. 5-5i

B. 7-5i

C. 5+5i

D. 7+5i



2、已知实数集R，集合A=
，集合B=
，则

A.{x|1

B.{x|1≤x≤2}

C.{x|1≤x<2}

D.{x|0≤x≤2}



3、已知命题
，
，那么“
为真命题”是“
为真命题”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件



C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件



4、相距1400m的A、B两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3s，已知声速340m/s，则炮弹爆炸点所在曲线的离心率为

A.

B.

C.

D. 1



5、如图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是

A．7 B．8

C．9 D．10

6、已知
=Asin(
)(A>0，
>0，0<
<
)，其导函数
的图象如图所示，则
的值为

A.
B.

C．2
D．2

7、一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别为

A. 5和2

B. 5和3

C. 5和4

D. 4和3





8、假设你家订了一份牛奶,送奶工人在早上6:00-7:00之间把牛奶送到你家,你离开家去上学的时间在早上6:30-7:30之间,则你在离开家前能收到牛奶的概率是

A.

B.

C.

D.



9、已知直线
（
是非零常数）与圆
有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有

A. 30条

B. 56条

C. 60条

D. 66条



10、已知函数
，若存在实数
，使得
成立，则整数k的最小取值为

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6





第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11、
_________________.

12、
的二项展开式中
的系数为_________（用数字表示）.

13、若
且
则
的最小值为______.

14、在
中，AB=2，AC=3，
，则 BC=________.

15、定义在R上的偶函数
满足对任意
，有
，且当
时，
，若函数
在
上至少有3个零点，则实数
的取值范围是____________.

三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16、（本题满分12分）

等差数列
中,
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式;

(Ⅱ)设
,求数列
的前n项和

17、（本题满分12分）

已知函数
(
>0)的最小正周期为
.

(I)求函数
图象的对称中心；

(Ⅱ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若△ABC为锐角三角形且
，求
的取值范围．

18、（本题满分12分）

某校从参加某次数学能力测试的学生中抽出36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
，
，
，
．

（Ⅰ）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列两个条件的概率：

①有且仅有1名学生成绩不低于110分；②成绩在
内至多1名学生；

（Ⅱ）在成绩是
内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在
内人数为随机变量
，求
的分布列及数学期望
.

19、（本题满分12分）

圆
上两点C，D在直径AB的两侧(如图甲), 沿直径AB将圆
折起形成一个二面角(如图乙), 若∠DOB的平分线交弧
于点G，交弦BD于点E,F为线段BC的中点.

（Ⅰ）证明:平面OGF∥平面CAD;

（Ⅱ）若二面角C-AB-D为直二面角，且AB=2，
，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值.

20、（本题满分13分）

设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，其离心率为
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设曲线
的上、下顶点分别为A、B，点P在曲线
上，且异于点A、B，直线AP，BP与直线
y=
分别交于点M，N．

(1)设直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；

(2)求线段MN长的最小值．

21、（本题满分14分）

已知函数
.

(Ⅰ)设函数
,其导函数为
，若
在
上具有单调性，求
的取值范围；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求证：
.

雅安市高中2013级第三次诊断性考试

数学试题(理科)

参考答案

一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

A

B

D

C

B

D

C

C



二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11、2 12、15 13、9 14、
15、
.

三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16、（本题满分12分）

解:(Ⅰ)设数列

且
解得

所以数列
……………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
所以

所以

两式相减得

………………………10 分

………………………………12 分

17、（本题满分12分）

解: (1)由条件得

…………………………………3分

由
解得

故所求对称中心为

…………………………………………6分

（2）由
解得
，
，所以

又
为锐角三角形，故

所以
，即
的取值范围是
………………………12分

18（本题满分12分）

19、（本题满分12分）

解析：(Ⅰ)

又OF

………………………………………………………（2分）

又

OG

又可知AD
……………………………………………（4分）

又OG

………………………………………………………（5分）

又

平面OGF∥平面CAD………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）二面角C-AB-D为直二面角，即平面CAB

由已知得

则CO

又

AD=1,又

ADGO为菱形，

设DG中点为M,则

直线OM,OB,OC两两垂直，故可如图建立空间直角坐标系………………（8分）

则B为(0,1,0) C为(0,0,1) D为（
，

G为（
，
F为（0，
，
）…………………………………………（9分）

（
，
为直线FG的一个方向向量………………………（10分）

设

则

又

令y=1,则

=

则直线FG与平面BCD所成角的正弦值为
…………………………………（12分）

20、（本题满分13分）

解：(Ⅰ)C的方程为：
……………………………………………………4分

(Ⅱ) (1)由题意，A(0,1)，B(0，－1)，令P(x0，y0)，则x0≠0，

∴直线AP的斜率k1＝，BP的斜率k2＝.

又点P在椭圆上，∴＋y＝1(x0≠0)，

从而有k1k2＝＝＝－.

即k1k2为定值． ………………………………………………7分

(2)由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k1(x－0)，

直线BP的方程为y－(－1)＝k2(x－0)，

由得

由得

∴直线AP与直线l的交点M，

直线BP与直线l的交点N.

又k1k2＝－，

∴|MN|＝＝＝＋|4k1|

≥2＝4，

当且仅当＝|4k1|，即k1＝±时等号成立，

故线段MN长的最小值是4. ………………………………………………13分

21、（本题满分14分）

解：(Ⅰ) ∵
，

∴
，

设
，则
，…………2分

（1）若
在
上恒成立，则
，故
；

（2）若
在
上恒成立，则
，

此时，
，故不存在
使
恒成立

综上所述，
的范围是：
………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当
时，
，

，

上为减函数，

所以
，

即
，

所以
，

依次令
得：

累加得：

故
………….……………14分

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