资阳市高中2013级高考模拟考试

数 学（理工类）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合
，则

(A)
(B)

(C)
(D)

2．已知i是虚数单位，复数
，则
的实部与虚部之和是

(A) 2＋i (B) 3

(C) 1 (D)－1

3．下列命题中，真命题是

(A)
，

(B)
，

(C) 函数
为定义域上的减函数

(D) “被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数”

4．已知
，
是互相垂直的单位向量，则

(A)
(B)

(C) (D)

5．右图是计算
的值的一个程序框图，其中判断框内可以填的是

(A)

(B)

(C)

(D)

6．已知函数
，
，下列结论正确的是

(A) 函数
与
的最大值不同

(B) 函数
与
在
上都为增函数

(C) 函数
与
的图象的对称轴相同

(D) 将函数
的图象上各点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，再通过平移能得到
的图象

7． 将A，B，C 共3本不同的书放到6个书柜里面，若每个书柜最多放2本，则不同的放法种数是

(A) 210 (B) 120

(C) 90 (D) 80

8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是

(A) 若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n

(B) 若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n

(C) 若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥β

(D) 若m⊥α，n
β，m⊥n，则α⊥β

9． 等腰直角三角形ABC中，A＝90°，A，B在双曲线E的同一支上，且线段AB通过双曲线的一个焦点，C为双曲线E的另一个焦点，则该双曲线的离心率为

(A)
(B)

(C)
(D)

10．已知函数
，
，设函数
，且函数
的零点都在区间
内，则
的最小值为

(A) 6 (B) 7

(C) 9 (D) 10

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．
的展开式中，所有项的系数和为 ．（用数字作答）

12．设实数
满足条件
则目标函数
的最大值为 ．

13．某几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图均为全等的几何图形（下边是边长为2的正方形，上边为半圆），俯视图为等腰直角三角形（直角边的长为2）及其外接圆，则该几何体的体积是 ．

14．若抛物线C:
上只有两点到直线l:
的距离为1，则实数k的取值范围是 ．

15．已知函数
，给出下面四个命题：

① 函数
的图象一定关于某条直线对称；

② 函数
在R上是周期函数；

③ 函数
的最大值为
；

④ 对任意两个不相等的实数
，都有
成立．

其中所有真命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
和向量
为共线向量．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若a＝6，求△ABC面积的最大值．

17．（本小题满分12分）

人的体重是人的身体素质的重要指标之一．某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重（公斤），体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组[40,45)，第2组[45,50)，第3组[50,55)，第4组[55,60)，第5组[60,65]，并制成如图所示的频率分布直方图，已知第1组与第3组的频率之比为1:3，第3组的频数为90．

（Ⅰ）求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；

（Ⅱ）用这些样本数据估计全市高二学生(学生数众多)的体重．若从全市高二学生中任选5人，设X表示这5人中体重不低于55公斤的人数，求X的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

已知首项不为0的等差数列
中，前n项和为
，满足
，且
成等比数列．

（Ⅰ）求
和
；

（Ⅱ）记
，数列
的前项和
．若
对任意
恒成立，求实数m的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P－AMC中，AC＝AM＝PM，AM⊥AC，PM⊥平面AMC，B，D分别为CM，AC的中点．

（Ⅰ）在PD上确定一点N，使得直线PM∥平面NAB，并说明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面NAB和平面PAC所成锐二面角α的大小．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆E：
的四个顶点构成一个面积为
的四边形，该四边形的一个内角为60°．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）直线l与椭圆E相交于A，B两个不同的点，线段AB的中点为C，O为坐标原点，若△OAB面积为
，求
的最大值．

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）若函数
在x＝0处的切线也是函数
图象的一条切线，求实数a的值；

（Ⅱ）若函数
的图象恒在直线
的下方，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若
，且
，判断
与
的大小关系，并说明理由．

注：题目中e＝2.71828…是自然对数的底数．

资阳市高中2013级高考模拟考试

数学参考答案及评分意见（理工类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A 8.C 9.B 10.A

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 2；12. 8；13.
；14.
或
或
；15. ①③．

三、解答题：本大题共75分。

16．（本小题满分12分）

（Ⅰ）因为向量
和向量
为共线向量，

所以
， 2分

由正弦定理得
，

即
．

由于B是三角形的内角，
，

则
，所以
. 6分

（Ⅱ）因为
，

所以
，

且仅当b=c时取得等号，所以
， 10分

故
，

所以当b＝c时，△ABC面积的最大值为
． 12分

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）设该校抽查的学生总人数为n，第2组、第3组的频率分别为
，
，

则
，所以
， 3分

由
，解得
，

所以该校抽查的学生总人数为240人，从左到右第2组的频率为0.25． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：体重不低于55公斤的学生的概率为

， 8分

X服从二项分布
，
，k＝0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5， 9分

所以随机变量X的分布列为：

X

0

1

2

3

4

5



P















 10分

则
． 12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）设公差为d，

则
即
1分

由①得
，代入②式得
，

由
，得
，所以
， 3分

所以
，则
． 4分

（Ⅱ）可得
， 6分

所以
， 8分

由于
为随n的增大而增大，可得
， 10分

因为
恒成立，所以
解得
．

所以实数m的取值范围是
． 12分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）N为PD靠近D的三等分点．理由如下：

取PC的中点E，连接BE，

由于B，E分别为CM，PC的中点，所以BE∥PM，

又BE
平面ABE，PM
平面ABE，

所以直线PM∥平面ABE，

连接AE，交PD于N点，即为满足条件的点．

由于AE，PD分别是△PAC的边PC，AC上的中线，

所以AE和PD的交点N为△PAC的重心，

故N为PD靠近D的一个三等分点． 6分

（Ⅱ）因为AC＝AM，AM⊥AC，所以∠AMC＝45°，在平面AMC内作My⊥MC于M，可知MC，My，MP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC＝AM＝PM＝2，则MC＝
，

所以C(
,0,0)，P(0,0,2)，A(
,
,0)，

即
,
，

因为PM⊥平面AMC，由（Ⅰ）知BE∥PM，

所以BE⊥平面AMC，则CM⊥BE．

又AC＝AM，B为CM的中点，则CM⊥AB，

所以CM⊥平面NAB，

所以可取平面NAB的一个法向量为
，

设平面PAC的法向量
，

由
得
取x＝1，则y＝1，z＝
，

可得平面PAC的一个法向量
，

由
，得
，

所以平面NAB和平面PAC所成锐二面角α的大小为
． 12分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）由题
解得
，

所以椭圆E的方程为
． 4分

（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

(1)当l的斜率不存在时，A，B两点关于x轴对称，

由△OAB面积
，可得
， 5分

(2)当l的斜率存在时，设直线l：
，

联立方程组
消去y，得
，

由
得
，

则
，
，（*） 6分

，

原点O到直线l的距离
，

所以△OAB的面积
， 7分

整理得
，即

所以
，即
，满足
， 8分

结合（*）得
，
，

则C
，所以
，

，

10分

所以
，

当且仅当
，即m＝±1时，等号成立，

故
，综上
的最大值为2． 13分

21．（本小题满分14分）

（Ⅰ）
，
在x＝0处切线斜率k＝
，切线l：
，

1分

又
，设l与
相切时的切点为
，则斜率
，

则切线l的方程又可表示为
， 3分

由
解之得a＝
． 4分

（Ⅱ）由题
对于x＞0恒成立，即
对于x＞0恒成立，

令
，则
，由
得
，

x

（0,
）



(
,＋∞)





＋

0

－



h(x)

↗

极大值

↘



 6分

则当x＞0时，
， 7分

由
，得
，即实数a的取值范围是
． 8分

（Ⅲ）
＞
．理由如下：

由题
，由
得
，

当
＜x＜a时，
，
单调递减，

因为
，所以
，即
，

所以
， ①

同理
， ②

①＋②得
，

因为
，

由