资阳市高中2013级高考模拟考试

数 学（文史类）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合
，则

(A)
(B)

(C)
(D)

2．已知i是虚数单位，复数
，则

(A)
(B)

(C)
(D)

3．下列命题，真命题的是

(A)
，

(B)
，

(C) 函数
为定义域上的减函数

(D) “被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数”

4．已知
，
是互相垂直的单位向量，则

(A) 2 (B)

(C) 3 (D) 5

5．右图是计算
的值的一个程序框图，其中

判断框内可以填的是

(A)

(B)

(C)

(D)

6．已知函数
，
，下列结论正确的是

(A) 函数
与
的最大值不同

(B) 函数
与
在
上都为增函数

(C) 函数
与
的图象的对称轴相同

(D) 将函数
的图象上各点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，再通过平移能得到
的图象

7． 直角三角形ABC中，A＝90°，B＝60°，B，C为双曲线E的两个焦点，点A在双曲线E上，则该双曲线的离心率为

(A)
(B)

(C) (D)

8．下列关于空间的直线和平面的叙述，正确的是

(A) 平行于同一平面的两直线平行

(B) 垂直于同一平面的两平面平行

(C) 如果两条互相垂直的直线都分别平行于两个不同的平面，那么这两个平面平行

(D) 如果一个平面内一条直线垂直于另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直

9． 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2 m，水面

宽4 m，如果水位下降
m后（水深大于5 m），水面宽度为

(A) m (B) 6 m

(C)
m (D) 4 m

10．已知函数
(其中x＞0)，
，设函数
，且函数
的零点都在区间
内，则
的最小值为

(A) 2 (B) 3

(C) 4 (D) 5

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．计算
的值为 ．

12．设实数
满足条件
则目标函数
的最大值为 ．

13．某几何体的三视图如右图所示，其中正视图和俯视图均为全等的正方形（边长为2），侧视图为等腰直角三角形（直角边的长为2），则该几何体的表面积是 ．

14．过点(－1, 0)的直线l与圆C:
交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则直线l的斜率为 ．

15．已知函数
，给出下面四个命题：

① 函数
的图象一定关于某条直线对称；

② 函数
在R上是周期函数；

③ 函数
的最大值为
；

④ 对任意两个不相等实数
，都有
成立．

其中所有真命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
和向量
为共线向量．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若a＝6，求△ABC面积的最大值．

17．（本小题满分12分）

人的体重是人的身体素质的重要指标之一．某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重（公斤），体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组[40,45)，第2组[45,50)，第3组[50,55)，第4组[55,60)，第5组[60,65]，并制成如图所示的频率分布直方图，已知第1组与第3组的频率之比为1:3，第3组的频数为90．

（Ⅰ）求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；

（Ⅱ）学校为进一步了解学生的身体素质，在第1组、第2组、第3组中用分层抽样的方法抽取6人进行测试．若从这6人中随机选取2人去共同完成某项任务，求这2人来自于同一组的概率．

18．（本小题满分12分）

已知数列
是首项和公差相等的等差数列，其前n项和为
，且
．

（Ⅰ）求
和
；

（Ⅱ）设
，数列
的前项和
，求
的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P－AMC中，AC＝AM＝PM＝2，PM⊥面AMC，AM⊥AC，B，D分别为CM，AC的中点．

（Ⅰ）在PC上确定一点E，使得直线PM∥平面ABE，并说明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接AE，与PD相交于点N，求三棱锥B－ADN的体积．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆E：
的四个顶点构成一个面积为
的四边形，该四边形的一个内角为60°．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）直线l与椭圆E相交于A，B两个不同的点，线段AB的中点为C，O为坐标原点，若△OAB面积为
，求
的最小值．

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求函数
在x＝1处的切线方程；

（Ⅱ）若函数
的图象恒在直线
的下方，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）当
时，若
，且
，判断
与
的大小关系，并说明理由．

注：题目中e＝2.71828…是自然对数的底数．

资阳市高中2013级高考模拟考试

数学参考答案及评分意见（文史类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A 8.C 9.B 10.A

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.
；12. 8；13.
；14.
；15. ①③．

三、解答题：本大题共75分。

16．（本小题满分12分）

（Ⅰ）因为向量
和向量
为共线向量，

所以
， 2分

由正弦定理得
，

即
．

由于B是三角形的内角，
，则
，所以
. 6分

（Ⅱ）因为
，

所以
，

且仅当b=c时取得等号，所以
， 10分

故
，

所以当b＝c时，△ABC面积的最大值为
． 12分

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）设该校抽查的学生总人数为n，第 2组、第3组的频率分别为
，
，

则
，所以
， 3分

由
，解得
，

所以该校抽查的学生总人数为240人，从左到右第2组的频率为0.25． 6分

（Ⅱ）前3组的频率之比是1 : 2 : 3，则按照分层抽样，这6人的构成是第1组1人（不妨设为A），第2组2人（不妨设为
），第3组3人（不妨设为
），从这6人中任选两人有
，共15个结果，而这2人来自同一组的情况有
，共4个结果，

所以这2人来自同一组的概率
． 12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）设数列
的公差为d，则
，
，

由
，解得d＝1，

所以
，则
． 4分

（Ⅱ）可得
， 6分

所以
， 8分

由于
为随n的增大而增大，可得
．

即
的取值范围是
． 12分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）E为PC的中点．理由如下：

连接BE，由于B，E分别为CM，PC的中点，

所以BE∥PM，

又BE
平面ABE，PM
平面ABE，

所以PM∥面ABE． 6分

（Ⅱ）由于AE，PD分别是△PAC的边PC，AC上的中线，所以AE和PD的交点N为△PAC的重心，故N为PD靠近D的三等分点，

则
，

而因为D为AC的中点，所以
，

又由于E为PC的中点，

所以
，

所以三棱锥B－AND的体积为
． 12分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）由题
解得
，

所以椭圆E的方程为
． 4分

（Ⅱ）(1)当l的斜率不存在时，A，B两点关于x轴对称，则
，
，

由
在椭圆上，则
，而
，解得
，
，

可知
，所以
． 5分

(2)当l的斜率存在时，设直线l：
，

联立方程组
消去y得
，

由
，得
，

则
，
，（*） 6分

，

原点O到直线l的距离
，

△OAB的面积
， 8分

整理得
，即
，

所以
，即
，满足
，

可知
， 10分

结合（*）得
，
，

则C
，所以
，

由于
，则
，当且仅当
，即k＝0时，等号成立，故
，

综上所述，
的最小值为
． 13分

21．（本小题满分14分）

（Ⅰ）当
时，
，
，

切线l的斜率k＝
，又
，

所以切线l的方程为
． 3分

（Ⅱ）由题知
对于x＞0恒成立，即
对于x＞0恒成立，

令
，则
，由
得
，

x

（0,
）



(
,＋∞)





＋

0

－



g(x)

↗

极大值

↘



则当x＞0时，
，

由
，得
，所以实数a的取值范围是
． 8分

（Ⅲ）
＞
．理由如下：

由题
，
，由
得
，

当1＜x＜e时，
，
单调递减，

因为
，所以
，即
，

所以
， ①

同理
， ②

①＋②得
，

因为
，

且由
得
，即
，

所以
，即
，

所以
，

所以
＞
． 14分

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