成都市高2013级高中毕业班第二次诊断性检测

数学（理工类）

本试卷分选择题和非选择题两部分。第I卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至

4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．已知集合A={x|y=
}．B={x||x|≤2)，则A
B=

(A)[一2.2] (B)[一2，4] (C)[0,2] (D)[0，4]

2．函数f（x）=2x+x-2的零点所在区间是

(A)（一∞, -1） (B)（一l，0） (C)(0.1) (D)(1，2)

3．复数z=
(其中i为虚数单位）的虚部为

(A) -1 (B)一1 (C) 2i (D)2

4．已知某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则该几何体的俯视图

不可能为

5．将函数f(x)=cos（x+
）图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得

到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个减区间是

(A)[一
，
] (B)[一
，
]

(C)[一
，
] (D)[一
，
]

6．某校高三(1)班在一次单元测试中，每位同学的考

试分数都在区间[loo，128]内，将该班所有同学的

考试分数分为七组：[100，104），[104，108），

[108,112), [112,116), [116,120), [120,124),

[124，128]．绘制出频率分布直方图如图所示，已

知分数低于112分的有18人，则分数不低于120

分的人数为

(A)10 (B)12

(C)20 (D)40

7．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部

抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人

都抢到红包的情况有

(A)36种 (B)24种 (C)18种 (D)9种

8．在三棱锥P-ABC中，已知PA上底面ABC，AB上BC，E，F分别是线段PB,PC上

的动点．则下列说法错误的是

(A)当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形

(B)当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形

(C)当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形

(D)当PC⊥平面AEF时，△AEF 一定为直角三角形

9．已知函数f(x)=
，则不等式f(f(x))<4f(x)+1的解集是

(A)(一3,0) (B)（一
，1） (C)(0,2) (D)（一
，log32)

10.已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B

两点，且
=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形

OCAB面积的最小值为

(A)3 (B)
(C)2
(D)

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．双曲线
=l的一个焦点坐标为(3，0)，则该双曲线的离心率为 。

12．
的展开式中，x2项的系数为 ．（用数字作答）

13.已知实数x，y满足
，则x2+ y2—2x的取值范围是 。

14.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为

______________.

15．已知函数f(x)= x+sin2x．给出以下四个

命题：

①
x>0，不等式f(x)<2x恒成立；

②
k∈R，使方程f(x)=k有四个不相等

的实数根；

③函数f(x)的图象存在无数个对称中心；

④若数列{an}为等差数列，且f(al)+f(a2)+f(a3)= 3π，则a2=π．

其中的正确命题有 ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b．c，已知a=
，且b2 +c2 =3+bc．

(I)求角A的大小；

(Ⅱ)求bsinC的最大值．

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}满足a1=1，(n+l)an=(n-l)an-1（n≥2，n∈N*）．

(I)求数列{an}的通项公式an.

(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn<2．

18．（本小题满分12分）

某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这

20个小球编号的茎叶图如图所示，

活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小

球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若

抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金

50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．

现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立。

( I)求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；

(Ⅱ)记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB ＝ 90°，且AC =1，

AB =2，E为BB1的中点，M为AC上一点，
．

( I)证明：CB1∥平面A1EM ；

(Ⅱ)若二面角C1一A1E-M的余弦值为
，求AA1的长度．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆C：
=l(a>b>0)的左右焦点分别为

F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与

椭圆C在第一象限的交点，且
。

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两

点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求

直线MN斜率的最小值．

21．（本小题满分14分）

设函数f(x)=lnx．

(I)求函数g(x)=x-1-f(x)的极小值；

(Ⅱ)若关于x的不等式mf(x)≥
在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

(Ⅲ)已知a∈（0，
），试比较f(tana)与一cos2a的大小，并说明理由．

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