自贡一中、二中2016高考适应性考试理科数学试题

一、选择题（共50分，每小题5分）

1．复数
（
为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象（ ）

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

3．“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．若
，则

A．
B．

C．
D．

5．执行右面的程序框图，如果输入的
，则输出的
属于 （ ）。

A、
B、
C、
D、

6．若
的展开式中含有常数项，则
的最小值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7．下列命题中真命题是（ ）

A．若
，则
；

B．若
，则
；

C．若
是异面直线，那么与相交；

D．若
，则
且

8．过双曲线

的右顶点
作斜率为
的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
．若
，则双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.如图：已知，在
中，点
是
的中点，点
是将向量
分为2:1的一个分点，
和
交于点
，则三角形
与
的面积的比值是（ ）



A．
B．
C．
D．

10．已知函数
在
，
点处取到极值，其中
是坐标原点，
在曲线
上，则曲线
的切线的斜率的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（共25分，每小题5分）

11．若向量
，且
，则
.

12．若甲乙两人从
门课程中各选修
门，则甲乙所选的课程中恰有
门相同的选法有

种.

13．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ．

14．在平面直角坐标系
中，圆
：
，圆
：
．若圆
上存在一点
，使得过点
可作一条射线与圆
依次交于点
，
，满足
，则半径r的取值范围是 ．

15．在平面直角坐标系中，已知
，其中
，若直线
上有且仅有一点
，使得
，则称直线
为“黄金直线”，点
为“黄金点”.由此定义可以判定以下说法正确的是 （填正确命题的序号）

①当
时，坐标平面内不存在黄金直线；

②当
时，坐标平面内有无数条黄金直线；

③当
时，黄金点的轨迹是个椭圆；

④当
时，坐标平面内有且只有一条黄金直线.

三、解答题（共75分）

16．（本小题满分12分）

已知
为锐角三角形，
分别为角
所对的边，且
.

（I）求角
；

（II）当
时，求
面积的最大值.

17．（本小题满分12分）

已知等差数列
的前n项和为
，且
．

（1）求数列
的通项公式与
；

（2）若
，求数列
的前n项和．

18．（本小题满分12分）

正
的边长为4，
是
边上的高，
、
分别是
和
边的中点，现将
沿
翻折成直二面角
．

（Ⅰ）试判断直线
与平面
的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
，使
？证明你的结论．

19．（本小题满分12分）

甲、乙两袋中各装有大小相同的小球
个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为
、
、
，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为
，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．

（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量
，求
的分布列和数学期望．

20．（本小题满分13分）

已知
的两个顶点
的坐标分别是
，且
所在直线的斜率之积等于
．

（1）求顶点
的轨迹
的方程，并判断轨迹
为何种曲线；

（2）当
时，点
为曲线
上点，且点
为第一象限点，过点
作两条直线与曲线
交于
两点，直线
斜率互为相反数，则直线
斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，在x=1处的切线与直线
垂直，函数
．

（1）求实数
的值；

（2）设
是函数
的两个极值点，记
，若
，

①
的取值范围；

②求
的最小值．

理科模拟参考答案

一、选择题（共50分，每小题5分）

1-5：ADADA 6-10:CACAA

答案提示

3．A．

试题分析：∵
，∴应是充分不必要条件，故选A．

4．D

试题分析：结合二次函数的性质，可知函数
在区间
上是减函数，故有
，所以A不正确，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以一个小于零的数或式子，不等号的方向需要改变，所以有
，所以B不正确，根据底数是大于零小于一的指数函数是减函数，有
，所以C不正确，因为
同号且不相等，所以
且
，根据基本不等式，可知D是正确的，故选D．

5．A

试题分析：程序框图描述的是分段函数
，输出的
的范围为函数的值域

考点：1．程序框图；2．分段函数求值域

6．C

试题分析：由展开式的通项公式
，得

即
有符合条件
的解，

所以当
时，
的最小值等于5；故选C．

8．C

试题分析：过右顶点A斜率为
的直线为
，与渐近线
联立可得
，与渐近线
联立可得
，由
可得
，整理得

9、分析：
，

又

，故
，

10．A．

【解析】

试题分析：根据题意由函数
，
，则
，设
，由
，又有
，
，

又
，其中
，则有
，所以
分别在
处取得极小值和极大值，则
，
，

，
，令
，由
得
，
上单调递增，在
上单调递减，所以
处取得唯一极大值，即最大值，所以
.

二、填空题（共25分，每小题5分）

11、

12、180

试题分析：甲乙所限课程有两门相同，从6门选2门，有
种选法，余下4门课程，甲有4种选法，乙有3种选法，共有
种选法

考点：排列、组合、计数原理；

13．

试题分析：由三视图可知：该空间几何体为以2为底面圆半径，以4为高的圆柱，中间挖去一个底面边长是2高是4的长方体，所以
．

考点：三视图的应用．

14．

【解析】

试题分析：由题意可知满足
的点
应在以
为圆心，半径为25的圆上及其内部（且在圆
的外部），记该圆为
，若圆
上存在满足条件的点
，则圆
与圆
有公共点，所以

，即
，解得
；

15．①②③

参考答案提示：平面内任意一点
不与
共线就与M，N构成三角形，故
，因此当
时，不存在黄金直线①正确；当
时，M，N之间各点均可作为黄金直线，故②正确；当
时，由椭圆的定义知
，则点P的轨迹为椭圆，故③正确；当
时，
为坐标原点，
，则点P可为以O为圆心，半径为5的圆上任意一点，该圆的任意一条切线为黄金直线，故④错误。

三、解答题(共75分)

16、解：（I）由正弦定理得
，将已知代入得
，………………………2分

因为△ABC为锐角三角形，所以
, 所以
………………………5分

（II）由余弦定理得
，即
，………………………6分

又
，所以
，………………………8分

所以△ABC的面积
，当且仅当
，即△ABC为等边三角形时，△ABC的面积取到
，所以△ABC面积的最大值为
………………………12分

17．解：（1）依题意知
，解得
，………………………2分

∴公差
，
．………………………4分

∴
，………………………6分

．………………………8分

（2）由（1）知
，

设数列
的前
项和为
，

则

………………………10分

．………………………12分

18、解：（Ⅰ）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，

又AB
平面DEF，EF
平面DEF．∴AB∥平面DEF．………………………3分

（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，

平面CDF的法向量为
设平面EDF的法向量为

则