绵阳南山中学2016届高三考前热身适应性考试（一）

数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、设集合
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2、已知
为虚数单位，复数
的虚部是（ ）

A.
B.
C.
D.

3、下列说法中正确的是（ ）

A.
是函数
是奇函数的充要条件

B. 若
，则
的否命题是若
，则

C. 若

，
，则

，

D. 若
为假命题，则
，
均为假命题

4、执行右面的程序框图，如果输入的
在
内取值，

则输出的
的取值区间为（ ）

A.
B.
C.
D.

5、将函数
的图象向右平移
个

单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），所得图象关于直线
对称，则φ的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6、某几何体的三视图如图所示，则该

几何体的体积的最大值为(　 　 )

A．1 B. C. D.

7、某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种类为(　 　)A．1860 B．1320 C．1140 D．1020

8、已知
，则
=( )

A．
B．
C.
D.

9、过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，＝2，则|BC|＝(　　)

A. B．6 C. D．8

10、已知函数
，则下列说法错误的是( )

A.当
时，函数
=
有零点 B.若函数
=
有零点，则

C.存在
，使函数
=
有唯一零点 D.若函数
=
有唯一零点，则

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11、若非零向量
，
满足
，则
，
的夹角的大小为__________

12、如果
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中
的系数是

13、已知圆

和两点
，
（
），若圆上存在点
，使得
，则
的取值范围是

14、设x，y满足约束条件：
，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为8，则ab的最大值为________

15、已知函数
的图象为曲线
，给出以下四个命题：

①若点
在曲线
上，过点
作曲线
的切线可作一条且只能作一条；

②对于曲线
上任意一点
，在曲线
上总可以找到一点
，

使
和
的等差中项是同一个常数；

③设函数
，则
的最小值是0；

④若
在区间
上恒成立，则
的最大值是2.

其中所有正确命题的序号是________

三、解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16、（本小题满分12分）已知向量a＝(sin x，－1)，b＝
，

函数f(x)＝(a＋b)·a－2.

(1)求函数f(x)的最小正周期T；

(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a＝
，c＝4，且f(A)＝1，求△ABC的面积S.[:]

17、（本小题满分12分）某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在
，
，
，
，
的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示.

（1）求随机抽取的市民中年龄段在
的人数；

（2）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求
年龄段抽取的人数；

（3）从（2）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记
为年龄在
年龄段的人数，求
的分布列及数学期望.

18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
∥
，
，平面
⊥底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
，
．

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）若二面角
大小的为
，求
的长．

19、（本小题满分12分）数列
的前
项和是
，

且

⑴ 求数列
的通项公式；

⑵ 记
，数列
的前
项和为
，若不等式
对任意的正整数
恒成立，求
的取值范围。

20、（本小题满分13分）已知椭圆

（
）的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
，过点
作与
轴不重合的直线
交椭圆
于
，
两点，连接
，
分别交直线
于
，
两点，若直线
、
的斜率分别为
、

试问：
是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

21、（本小题满分14分）已知
为实数，函数
．

（1）当
时，求函数
在
处的切线方程；

（2）设
，若
，使得
成立，求实数
的取值范围．

（3）定义：若函数
的图象上存在两点
、
，设线段
的中点为
，若
在点
处的切线
与直线
平行或重合，则函数
是“中值平均函数”，切线
叫做函数
的“中值平均切线”．试判断函数
是否是“中值平均函数”？若是，判断函数
的“中值平均切线”的条数；若不是，说明理由；

参考答案

一、CABAD DCBAB

二、（11）
（12）21 （13）
（14） 2 （15）②③

三、16、解：(1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2

＝sin2x＋1＋sin xcos x＋－2＝＋sin 2x－ （4分）

＝sin 2x－cos 2x＝sin
,因为ω＝2，所以T＝＝π. （6分）

(2)f(A)＝sin
＝1.因为A∈
，2A－∈(-
，

所以2A－＝，A＝ （8分）

又a2＝b2＋c2－2bccos A，

所以12＝b2＋16－2×4b×，即b2－4b＋4＝0，则b＝2. （10分）

从而S＝bcsin A＝×2×4×sin＝2
. （12分）

17、解：（1）由图知，随机抽取的市民中年龄段在
的频率为

， （2分）

∴随机抽取的市民中年龄段在
的人数为
人.（3分）

（2）由（1）知，年龄段在
﹞的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，所以在[50,60〕年龄段的人数为10×
=2（6分）

（3）由已知
（7分）
，
，
，（10分）∴
的分布列为

x

0

1

2



p










（12分）

18、解：（1）∵AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形， ∴CD // BQ (2分)

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．∵BQ
平面MQB，∴平面MQB⊥平面PAD (5分)

（2）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD． (6分)

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则
，
，
，
，

由
，且
，得

所以
又
，

∴ 平面MBQ法向量为
(8分)

由题意知平面BQC的法向量为
(9分)

∵二面角M-BQ-C为60° ∴
，∴
(10分)

∴

(12分)

19、解：(1)由题意得：又
①
② （2分）

①-②可得
，则
（4分）

当
时
，则
，则
是以
为首项，
为公比的等比数列，

因此
（6分）

(2)
（8分）

所以
（10分）

所以
（12分）

20、解：（1）由题意得
，解得
（3分）

故椭圆
的方程为
． （4分）

（2）设
，
，直线
的方程为
（5分）

由
，得
（6分）

所以
，
（7分）

由
，
，
三点共线可知，
，所以
；（8分）

同理可得
（９分）

所以
（１０分）

因为
，所以

（13分）

21、解：（1）解略：函数在
处的切线方程为：
（3分）

（2）由
，得
，

记
，
，

所以当
时，
，
递减，当
时，
，
递增；

所以
，

，记

，
，
，

时，
递减；
时，
递增；

，
，

故实数
的取值范围为
（8分）

（3）函数
的定义域为
，
，

若函数
是“中值平均函数”，则存在

使得
，即

，

（※） （10分）

①当
时，（※）对任意的
都成立，所以函数
是“中值平均函数”，且

函数
的“中值平均切线”有无数条； （10分）

②当
时，有
，设
，则方程
在区间
上有解，记函数
，则
，

所以函数
在区间
递增，
，

所以当
时，
，即方程
在区间
上无解，

即函数
不是“中值平均函数”；

综上所述，当
时，函数
是“中值平均函数”，且函数
的“中值平均切线”有

无数条；当
时，
不是“中值平均函数”； ………………14分

类比练习：已知函数
有两个零点
，则下列说法错误的是( )

A.
B.

C.
D.有极小值点
，且

【答案】C

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