2016届四川省绵阳市高三三诊考试理科数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1．已知
为虚数单位，复数
满足
，则复数
所对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知
，则

A.
B.
C.
D.

3．执行如图所示的程序框图，则输出的
为

A. 4 B. 6 C. 7 D. 8

4、“
，使
”是“
”成立的

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5、已知实数
，则点
落在区域
内的概率为

A.
B.
C.
D.

6．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）. 已知甲、乙均为得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有

A. 27种 B. 48种 C. 54种 D. 72种

7．若函数
同时满足以下三个性质：①
的最小正周期为
；②对于任意的
，都有
；③
在
上是减函数，则
的解析式可能是

A.
B.

C.
D.

8．在长方体
中，
，
分别是棱
上的动点，如图，当
的长度取得最小值时，二面角
的余弦值的取值范围为

A.
B.
C.
D.

9．设
是抛物线
上分别位于
轴两侧的两个动点，且
，过点
作
的垂线与抛物线交于点
两点，则四边形
面积的最小值为

A. 80 B. 100 C. 120 D. 160

10．已知函数
，关于
的方程
有四个相异的实数根，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

11．已知向量
与
共线且方向相同，则

12．若
的展开式各项系数之和为64，则展开式的常数项为________.

13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.

请根据以上数据分析，这个经营部定价在________元/桶才能获得最大利润

14．在平面直角坐标系
中，点
，
. 若直线
上存在点
，使得
，则实数
的取值范围是__________.

15．已知函数
，其中常数
，给出下列结论：

①
是
上的奇函数；

②当
时，
对任意的
恒成立；

③
的图像关于
和
对称；

④若对
，
，使得
，则
.

其中正确的结论有_________. （写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.

16．（本小题满分12分）

体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试. 现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：
，第二组：
，……，第五组：
），并绘制成如右图所示的频率分布直方图.

（I）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；

（II）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为
，求
的分布列及数学期望.

17．（本小题满分12分）

已知在
中，角
所对的边长分别为
，且满足
.

（I）求
的大小；

（II）若
，
，求
的长

18．（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列
的前
项和为
满足
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设
为数列
的前
项和，若
对
恒成立，求实数
的最小值.

19．（本小题满分12分）

如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形.在图①中，设平面
与平面
相交于直线
.

（I）求证：
平面
；

（II）在图①中，线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成的角的正弦值等于
？若存在，求出点
的位置；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率为
，过焦点且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为2.

（I）求椭圆
的方程；

（II）直线
与椭圆交于
两点，以
为直径的圆与
轴正半轴交于点
，是否存在实数
，使得
的内切圆的圆心在
轴上？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分14分）

设函数
，
，其中
是正常数，且
.

（I）求函数
的最值；

（II）对于任意的正数
，是否存在正数
，使不等式
成立？并说明理由；

（III）设
，且
，证明：对于任意正数
都有
.

参考答案

选择题

AADCD CBBAD

填空题

11. 2 12. -540 13. 11.5 14
15.①②

解答题

16.

（I）第四组的人数为16人，中位数为47.5

（II）据题意，第一组有2人，第五组有4人

于是
，

的分布列为

0

1

2















17．

（I）在
中，原式利用正弦定理可化简为

又

又

（II）在
中，

由
，即
，解得

又

由
，得

18．

（I）当
时，
，解得

当
时，

整理得

（II）

由题意得
对
恒成立

令
，则

即
对
恒成立

即数列
为单调递减数列，最大值为

，即
的最小值为

19．

（I）证明：由题意，

面
，
面

面

又
平面
，面
面

由主视图可知，
，由侧视图可知
，

面

面

（II）建立如图所示空间直角坐标系，

则

则面
的一个法向量为

设
，则

解得
或
（舍）

即存在满足题意的点
，此时
的位置在线段
的
处（靠近
点）

20．

（I）设焦点
，则
，从而

由题意得，
，解得
，又
，

故椭圆的方程为

（II）依题意可知
，且

于是直线
的斜率
，直线
的斜率

设

则
，

联立可得
①

联立
，可得

②

将①式平方，并将②式代入可得
或者

故存在满足条件的
值，分别为
或

21．

（I）

当
时，
时，

在
上单调递减，在
上单调递增。

有最小值
，没有最大值

（II）对
，
使得
成立，其理由如下

令
，则
，所以
在
单调递减

于是可得当
时，