四川省成都市第七中学2016届高三下学期入学考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．设集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设复数
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．一个四面体的顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是
，
，
，
，画该四面体三视图中的正视图时，以
平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）

A B C D

4．已知等差数列
的前
项和为
，且
，那么
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．函数
的部分图象如图所示，则此函数的解析式可为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．阅读如图所示的程序框图，若输入的
，则该算法的功能是（ ）

A．计算数列
的前10项和 B．计算数列
的前9项和

C．计算数列
的前10项和 D．计算数列
的前9项和

7．设函数
在
上可导，其导函数为
，且函数
在
处取得极小值，则函数
的图象可能是（ ）

A B C D

8．2名厨师和3位服务员共5人站成一排合影，若厨师甲不站两端，3位服务员中有且只有两位服务员相邻，则不同排法的种数是（ ）

A．60 B．48 C．42 D．36

9．设
是双曲线
的两个焦点，
在双曲线上，若
，
（
为半焦距），则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．2 D．

10．将函数
的图象向左平移1个单位，再将位于
轴下方的图象沿
轴翻折得到??
的图象，若实数
满足
，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是______．（用数字作答）

13．已知
，
满足约束条件
，若
的最小值为1，则
______．

14．设正实数
满足
，则当
取得最大值时，
的最大值为______．

15．如图，正方体
的棱长为1，
为
的中点，
为线段
上的动点，过点
的平面截该正方体所得的截面记为
．则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．

①当
时，
为四边形 ②当
时，
为等腰梯形

③当
时，
与
的交点
满足

④当
时，
为六边形 ⑤当
时，
的面积为
．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，角
对应的边分别是
．已知
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
的面积
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

已知数列
满足：
，
．数列
的前
项和为
，
．

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）设
．求数列
的前
项和
．

18．（本小题满分12分）

如图1，在等腰直角三角形
中，
，
分别是
上的点，
，
为
的中点．将
沿
折起，得到如图2所示的四棱锥
，其中
．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

19．（本小题满分12分）

甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为
，乙队每人答对的概率都是
．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用
表示甲队总得分．

（Ⅰ）求随机变量
的分布列及其数学期望
；

（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．

20．（本小题13分）

在平面直角坐标系中，长度为3的线段
的端点
、
分别在
轴上滑动，点
在线段
上，且
．

（1）若点
的轨迹为曲线
，求其方程；

（2）过点
的直线
与曲线
交于不同两点
、
，
是曲线上不同于
、
的动点，求
面积的最大值．

21．（本小题14分）

已知函数
．

（1）当
时，讨论函数
的单调性；

（2）当
时，在函数
图象上取不同两点
、
，设线段
的中点为
，试探究函数
在
点处的切线与直线
的位置关系？

（3）试判断当
时
图象是否存在不同的两点
、
具有（2）问中所得出的结论．

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