成都市2013级高中毕业班第三次诊断性检测

数学（理工类）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

2.命题
的否定是

A.
B.

C.
D.

3.已知复数
（其中
为虚数单位），则

A. 3 B.
C. 2 D. 1

4.已知
是空间中两个不同的平面，
为平面
内的一条直线，则
是
的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.已知向量
满足
，则
在
方向上的投影为

A.
B.
C.
D.

6. 某工厂用A,B两种配件生产甲乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h.若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为

A. 24万元 B.22万元 C. 18万元 D. 16万元

7.执行如图所示的程序框图，若依次输入
，则输出的结果为

A.
B.
C.
D.

8.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择.已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为

A.144 B. 132 C. 96 D.48

9. 定义在
上的函数
同时满足：①对任意的
恒有
成立；②当
时，
记函数
，若函数
恰好有两个零点，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10. 已知O为坐标原点，双曲线
的左焦点为
，以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A,B，O三点，且
.关于
的方程
的两个实数根分别为
和
，则以
为边长的三角形的形状是

A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形

第Ⅱ卷（非选择题,共100分）

二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.计算：
.

12. 一块边长为8cm的正方形铁板按如图所示的阴 影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为

13. 已知椭圆
的两个焦点分别为
，过
的直线交椭圆C于A,B两点，若
的最大值为10，则
的值为 .

14. 若直线
经过曲线
的对称中心，则的
最小值为 .

15.函数
，因其图象像“囧”字，被称为“囧函数”.我们把函数
的图像与
轴的交点关于原点对称的点称为函数
的“囧点”；以函数
的“囧点”为圆心，与函数
的图象有公共点的圆，皆称为函数
的“囧圆”.当
时，有以下命题：

①对任意
，都有
成立；

②存在
，使得
成立；

③函数
的“囧点”与函数
图象上的点的最短距离为
；

④函数
的所有“囧圆”中其周长的最小值为
.

其中正确的命题序号有 .(写出所有正确命题的序号)

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分10分）

已知函数

(1)求函数
的单调递增区间；

(2)在
中，内角A,B,C的对边分别为
，角A满足
，若
，求
的值.

17.（本小题满分12分）

如图，在三棱台
中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC
底面ABC，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.

(1)求证：平面ABED//平面GHF;

(2))若BC=CF=
AB=1，求二面角A-DE-F的余弦值.

18.（本小题满分12分）

某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：

由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为

(1) 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；

(2))从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为
，求随机变量
的分布列及其均值.

19.（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，且

(1)求数列
的通项公式；

(2)设数列
满足
，求
,求使
成立的
的最小值.

20.（本小题满分13分）

已知一动圆经过点
，且在
轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点
任意作相互垂直的两条直线
，分别交曲线C于不同的两点A,B和不同的两点D,E.设线段AB,DE的中点分别为P,Q.

①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；

②求
的最小值；

21.（本小题满分14分）

已知函数
，其中
为自然对数的底数.

(1)设函数
试讨论函数
的单调性；

(2)设函数
，若对任意
，且
都有
成立，求实数
的取值范围.

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