北京市海淀区2016届高三下学期期末练习（二模）

数学（理）试题

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知全集
，
则

A.
B.
C.
D.

2.在数列
中，
，且
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

3. 若点
在直线
（
为参数）上，则
的值为

A.
B.
C.
D.

4.在
中，
则

A.
B.
C.
D.
[:.]

5.在
(其中
)的展开式中，
的系数与
的系数相同，则
的值为

A.
B.
C.
D.

6.函数
的零点个数是

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7. 如图，在等腰梯形
中，
. 点
在

线段
上运动，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

8.直线
与
轴的交点分别为
, 直线
与圆
的交点为
. 给出下面三个结论：

①
； ②
；③

则所有正确结论的序号是

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知
其中
为虚数单位，
，则
__.

10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名同学，统计他们假期参加实践活动的时间, 绘成频率分布直方图（如图）. 则这100名同学中参加实践活动时间在
小时内的人数为 ___ .

11. 如图，
是
上的三点，点
是劣弧
的中点，过点
的切线交弦

的延长线交
于点
. 若∠
，则

12. 若点
在不等式组
所表示的平面区域内，则原点
到直线
距离的取值范围是__.

13.已知点
，若这三个点中有且仅有两个点在函数
的图象上，则正数
的最小值为___.

14.正方体
的棱长为
，点
分别是棱
的中点，以
为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高
.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）比较
，
的大小；

（Ⅱ）求函数
的最大值.

16.（本小题满分13分）

某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如下表所示：

第一周

第二周

第三周

第四周

第五周




型数量（台）

11

10

15








型数量（台）

10

12

13








型数量（台）

15

8

12







(Ⅰ)求
型空调前三周的平均周销售量；

(Ⅱ)根据
型空调连续3周销售情况，预估
型空调连续5周的平均周销量为10台.

请问：当
型空调周销售量的方差最小时， 求
，
的值；

(注：方差
，其中
为
，
，…，
的

平均数)

（Ⅲ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中
型空调台数
的分布列和数学期望.

17.（本小题满分14分）

如图，等腰梯形
中，
，
于
，
于
，且
，
.将
和
分别沿
、
折起，使
、
两点重合，记为点
，得到一个四棱锥
，点
，
，
分别是
的中点.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）求直线
与平面
所成的角的大小.

18.（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若关于
的不等式
在
上有解，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)若曲线
存在两条互相垂直的切线，求实数
的取值范围.(只需直接写出结果)

19. （本小题满分13分）

已知点
其中
是曲线
上的两点，
两点在
轴上的射影分别为点
,且
.

（Ⅰ）当点
的坐标为
时，求直线
的斜率；

（Ⅱ）记
的面积为
，梯形
的面积为
，求证：
.

20.（本小题满分13分）

已知集合

,其中
.

, 称
为
的第
个坐标分量. 若
，且满足如下两条性质：

①
中元素个数不少于4个；

②
，存在
，使得
的第
个坐标分量都是1；

则称
为
的一个好子集.

（Ⅰ）若
为
的一个好子集，且
，写出
；

（Ⅱ）若
为
的一个好子集，求证：
中元素个数不超过
；

（Ⅲ）若
为
的一个好子集且
中恰好有
个元素时，求证：一定存在唯一一个

，使得
中所有元素的第
个坐标分量都是1.

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案

数学（理科）2016.5

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

D

B

C

A

C

C



二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）

9．

 10．

 11.



12．

 13．

 14．





三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15．解：（Ⅰ）因为

所以
…………………2分

…………………4分

因为
,所以
…………………6分

（Ⅱ）因为
…………………9分

令
， 所以
,…………………11分

因为对称轴
,

根据二次函数性质知，当
时，函数取得最大值
　　　…………………13分

16解: (I)
型空调前三周的平均销售量

台…………………2分

（Ⅱ）因为
型空调平均周销售量为
台，

所以
…………………4分

又

化简得到
…………………5分

因为
，所以当
或
时，
取得最小值

所以当
或
时，
取得最小值…………………7分

（Ⅲ）依题意，随机变量
的可能取值为
，…………………8分

,

,

, …………………11分



















随机变量
的分布列为

随机变量
的期望
.…………………13分

17解:

（Ⅰ）证明：连结
.

在
中，因为
分别是所在边的中点，所以
，…………………1分

又
, 所以
, …………………2分

所以
是平行四边形，所以
,…………………3分

又
平面
，
平面
, …………………4分

所以
平面
. …………………5分

（Ⅱ）证明：方法一：

在平面
内，过点
作
的平行线
，

因为

所以
平面
,

所以

平面
，所以


.

又在
中，因为
，所以
.

以
为原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系…………………6分

所以
…………………7分

所以
，…………………8分

所以
，所以
. …………………9分

方法二：

取
中点
，连接
.

又
为
的中位线，所以

又
，所以
，所以
在一个平面中. …………………6分

因为
是等边三角形，所以
,

又
，所以
, …………………7分

且
，

所以
平面
，…………………8分

而