北京市海淀区2016届高三下学期期末练习（二模）

数学（文）试题

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知全集
，
则
[:]

A.
B.
C.
D.

2.数列
的首项
，且
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

3. 已知命题
和命题
，若
为真命题，则下面结论正确的是

A.
是真命题 B.
是真命题 C.
为真命题 D.
为真命题

4. 已知向量

, 且
，则

A.
B.
C.
D.

5. 函数
的零点个数是

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6. 在
中，
则

A.
B.
C.
D.

7. 如图, 抛物线
与圆
交于
两点，

点
为劣弧
上不同于
的一个动点，与
轴平行的直线

交抛物线
于点
，则
的周长的取值范围是

A.
B.
C.
D.

8.正方体
的棱长为
，点
分别是棱
的中点，以
为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为

A.
B.
C.
D.

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.已知
,其中
为虚数单位，
，则
__.

10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名同学，统计他们假期参加活动的时间, 绘成的频率分布直方图如图所示， 则这100名同学中参加活动时间在
小时内的人数为 ___.

11.已知双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则该双曲线的焦距为__.

12.若点
在不等式组
所表示的平面区域内，则原点
与点
距离的取值范围是__.

13.在一次调查中，甲、乙、 丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和. 那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为__.

14.已知点
，若这三个点中有且仅有两个点在函数
的图象上，则正数
的最小值为___.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题满分13分）

已知等差数列
的通项公式为
,各项都是正数的等比数列
满足
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

(Ⅱ)求数列
的前
项和
.

16.（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）比较
，
的大小；

（Ⅱ）求函数
的最大值.

17.（本小题满分14分）

已知长方形
中,
，
为
中点，将
沿
折起到
，所得四棱锥
如图所示.

（Ⅰ）若点
为
中点，求证：
平面
；

（Ⅱ）当平面
平面
时，求四棱锥
的体积；

（Ⅲ）求证:
.

18.（本小题满分13分）

某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：

第一周

第二周

第三周

第四周

第五周




型数量（台）

11

10

15








型数量（台）

10ZxxkCom

12

13








型数量（台）

15

8

12







(Ⅰ)求
型空调前三周的平均周销售量；

(Ⅱ)为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店前三周售出的所有空调

中随机抽取一台，求抽到的空调不是
型且不是第一周售出空调的概率？

（Ⅲ）根据
型空调连续3周销售情况，预估
型空调连续5周的平均周销量为10台.

请问：当
型空调周销售量的方差最小时， 求
，
的值；

(注：方差
，其中
为
，
，…，
的

平均数)

19.（本小题满分13分）

已知
,
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若关于
的不等式
在
上有解，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)若存在
既是函数
的零点，又是函数
的极值点，请写出此时
的值. (只需写出结论)

20.（本小题满分14分）

已知曲线
,　直线
与曲线
交于
两点，
两点在
轴上的射影分别为点
.

（Ⅰ）当点
坐标为
时,求
的值；

（Ⅱ）记
的面积
，四边形
的面积为
.

（i） 若
，求
的值；

（ii）求证：
.

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案

数学（文科）2016.5

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

B

C

A

B

D

C

D



二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分）

9．

 10．

 11.



12．

 13． 甲丁乙丙

 14．





三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15.解：(Ⅰ) 设数列
的公比为
，

因为
，所以
. ……………………….2分

解得
或
（舍）. ……………………….4分

所以
. ……………………….7分

(Ⅱ)记
的前
项和为

的前
项和为

所以
. ……………………….9分

. ……………………….12分

所以
. ……………………….13分

16.解：（Ⅰ） 因为

所以
…………………2分

…………………4分

因为
, 所以
…………………6分

（Ⅱ）因为
…………………9分

令
， 所以
, …………………11分

因为对称轴
,

根据二次函数性质知，当
时，函数取得最大值
　　 　…………………13分

17解：（Ⅰ）取
中点
，连接

因为在
中，点
分别是所在边的中点，所以
. …………………1分

又
，所以
，…………………2分

所以
是平行四边形，所以
，…………………3分

又
平面
，
平面
，…………………4分

所以
平面
. …………………5分

方法二: 取
中点
，连接

在
中，点
分别是所在边的中点，所以
. …………………1分

又
，所以
是平行四边形，…………………2分

所以
…………………3分

因为
所以平面
平面
…………………4分

因为
平面
,

所以
平面
. …………………5分

（Ⅱ）因为平面
平面
，

在
中，作

于
，

因为平面
平面
，

所以
平面
. …………………7分

在
中，计算可得
…………………8分

所以
. …………………10分

（Ⅲ）在矩形
中，连接
交
于
，

因为
，所以
，

所以
，…………………11分

所以在四棱锥
中，
…………………12分

又
，所以
平面
. …………………13分

因为
平面
，所以

. …………………14分

方法二：

由 （Ⅱ）, 连接
.

在
中，
，
，

，得到

所以
，所以
…………………11分

又
，…………………12分

所以
平面
. …………………13分

因为
平面
，所以

. …………………14分

18解: (I)(I)
型空调前三周的平均销售量

台…………………2分

（Ⅱ）设抽到的空调不是
型且不是第一周售出的空调为事件
…………………4分

所以
…………………7分

（Ⅲ）因为
型空调平均周销售量为
台，

所以
…………………9分

又

化简得到
…………………11分

注意到
，所以当
或
时，
取得最小值

所以当
或