北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学试卷（文史类） 2016.5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2. 复数
（
为虚数单位）在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.设
,且
,“
” 是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 已知m，n，
为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是

A．若m⊥
，n⊥
， 则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n

C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

5. 同时具有性质:“①最小正周期是
；②图象关于直线
对称；③在区间
上是单调递增函数”的一个函数可以是

A．
B．

C．
D．

6. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是

A．

B．

C.

D.

7.设函数

且
的最大值为
,则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

8.在边长为1的正方形
中，已知
为线段
的中点，
为线段
上的一点，若线段
，则

A．
B．

C.
D．

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9.执行如图所示的程序框图，输出的
= .

10. 已知向量
，向量
，若
与
垂直，则实数
的值为 ．

11.已知过点
的直线
与圆
相切，且与直线
垂直，则实数
；直线
的方程为 .

12. 在平面直角坐标系
中，抛物线
的准线
的方程是 ；若双曲线
的两条渐近线与直线
交于
两点，且
的面积为
，则此双曲线的离心率为 .

13. 已知关于
的不等式组
所表示的平面区域
为三角形，则实数
的取值

范围是 ．

14. 为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设
表示前
年的纯利润（
=前
年的总收入－前
年的总费用支出－投资额），则
（用
表示）；从第 年开始盈利.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

在
中，角
，
，
的对边分别是
，已知
，

．

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ) 若角
为锐角，求
的值及
的面积．

16. （本小题满分13分）

某城市要建宜居的新城，准备引进优秀企业进行城市建设. 这个城市的甲区、乙区分别 对6个企业进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.

（Ⅰ）根据茎叶图，分别求甲、乙两区引进企业得分的平均值；

（Ⅱ）规定85分以上（含85分）为优秀企业.

若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中

各随机选取1个，求这两个

企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.

17. （本小题满分13分）

已知等差数列
的首项
和公差

均为整数，其前
项和为
．

(Ⅰ)若
，且
，
，
成等比数列，求数列
的通项公式；

(Ⅱ)若对任意
，且
时，都有
，求
的最小值．

18. （本小题满分14分）

在四棱锥
中，底面
为菱形，侧面
为等边三角形，且侧面
底面
，
分别为
的中点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）侧棱
上是否存在点
，使得
平面
?

若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

19. （本小题满分13分）

已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，若
在区间
上恒成立，求
的取值范围.

20. （本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，
是椭圆


上的点，过点
的直线
的方程为
.

(Ⅰ)求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）当
时，设直线
与
轴、
轴分别相交于
两点，求
面积的最小值；

（Ⅲ）设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
与点
关于直线
对称，求证：

点
三点共线.

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学答案（文史类） 2016.5

一、选择题：（满分40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

D

A

C

B

A

A

C



二、填空题：（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案






,


,




,



（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：（满分80分）

15. （本小题满分13分）

解：(Ⅰ) 在
中，因为
，

所以
．

因为
，由正弦定理
，解得
．

…………………6分

(Ⅱ) 由
得
.

由余弦定理
，得
.

解得
或
（舍）.

. …………………13分

16. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
，

. …………………4分

（Ⅱ）甲区优秀企业得分为88,89,93,95共4个，乙区优秀企业得分为86,95,96共3个.从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件为（88,86），（88,95），（88,96），（89，86），（89,95），（89,96），（93,86），（93,95），（93,96）（95,86）（95,95）（95,96）共12个.

其中得分的绝对值的差不超过5分有（88,86），（89，86），（93,95），（93,96），（95,95），（95,96）共6个.

则这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率
.………13分

17. （本小题满分13分）

解：(Ⅰ)因为
，
，
成等比数列，所以
.

将
代入得
,

解得
或
.

因为数列
为公差不为零的等差数列，所以
.

数列
的通项公式
.……………………………6分

（Ⅱ）因为对任意
，
时，都有
，

所以
最大，则
，

所以
则

因此
.

又
，
，
，

故当
时，
， 此时
不满足题意.

当
时，
， 则
，

当
时，
,
,

易知
时,
，

则
的最小值为
. ………………………………………………………13分

18. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为
为等边三角形，

为
的中点，

所以
．

又因为平面
平面
，

平面
平面
，

平面
，

所以
平面
．

又因为
平面
，

所以
．……………………………………………………………4分

（Ⅱ）连结
，因为四边形
为菱形，

所以
．

因为
分别为
的中点，

所以
，所以
．

由（Ⅰ）可知，
平面
．

因为
平面
，所以
.

因为
，所以
平面
．

又因为
平面
，

所以平面
平面
．…………………………………………………9分

（Ⅲ）当点
为
上的三等分点（靠近
点）时，