房山区2016年高考一模试卷

高三数学（文科）

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
,
,则集合

（A）

（B）



 （C）

（D）



（2）在复平面内，复数
对应的点的坐标为
，则

（A）

（B）

（C）

（D）



（3）在△ABC中，若
，
，
，则

（A）

（B）2

（C）3

（D）4



（4）在平面区域
内任取一点
，则
满足
的概率为

（A）

（B）



 （C）

（D）



（5）执行如图所示的程序框图,若输入
，则输出
的值是

（A）1



 （B）3



（C）7



（D）15





（6）设
,则 “
”是“直线
与直线
平行”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



 （C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件



（7）已知定义在
上的函数
的对称轴为
，且当
时，
.

若函数
在区间
（
）上有零点，则
的值为

（A）
或

（B）
或

（C）
或

（D）
或





（8）某市2015年前n个月空气质量优良的总天数Sn与n之间的关系如图所示．若前m月

的月平均空气质量优良天数最大，则m值为

（A）7

（B）9

（C）10

（D）12





二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）双曲线
的渐近线方程是___.

（10）圆
的圆心坐标为___，半径为__.

（11）若
，则
___.

（12）已知向量
，
，若
与

垂直，则实数
___.

（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于___.

（14）数列
满足
，
那么
___，数列
的前
项

和
___.

三、解答题共6小题，共80分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）若
，且
，求
的值.

（16）（本小题13分）

在等比数列
中，
，且
是
的等差中项．

（Ⅰ）求
的通项公式及前
项和
；

（Ⅱ）已知
是等差数列，
为其前n项和，且
求
.

（17）（本小题13分）

北京某高中校为了解学生的身体状况，随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重(单位：千克)全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[45，50)，第2组[50，55)，第3组[55，60)，第4组[60，65)，第5组[65，70]，得到如图所示的频率分布直方图．

现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生进行某项体能测试．

（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；

（Ⅱ）若从所抽取的6名学生中再次随机抽取2名学生做调查问卷，求这2名学生不在同一组的概率．

（18）（本小题14分）

在三棱锥
中，平面
平面
，
,
，
为
的中点，
为
的中点，
在棱
上.

（Ⅰ）当
为
的中点时，证明：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）是否存在点
使得
∥平面
？若存在，求出
的值，若不存在，说明理由.

（19）（本小题13分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）求曲线
在
处的切线方程；

（Ⅱ）求
的单调区间；

（Ⅲ）设
，其中
，证明：函数
仅有一个零点.

（20）（本小题14分）

已知椭圆
：

的离心率为
，右焦点为
.
为直线
上任意一点，过点
做直线
的垂线
，直线
与椭圆
交于
两点，
为线段
的中点，
为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）证明：
三点共线；

（Ⅲ）若
，求
的方程.

房山区高考一模考试

数学（文）答案及评分标准201603

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

B

D

D

A

C

C



二、填空题：每小题5分，共30分．（第一空3分，第二空2分）

9.
10.
11.

12.
13.
14.

三、解答题：本大题共6小题,共80分．

15（共13分）

解：

………4分

………………6分

（Ⅰ）
，
的最大值为
………………10分

（Ⅱ）因为

所以
………………11分

因为
，所以

所以
解得
………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）设公比为

由
是
的等差中项，得
…………2分

即
解得
………………3分

所以
………………9分

（Ⅱ）设公差为
由（Ⅰ）知

则
即
解得
……10分

所以
………………11分

所以
………………13分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3∶2∶1.

所以，每组抽取的人数分别为

第3组：×6＝3；第4组：×6＝2；第5组：×6＝1.

所以从第3，4，5组应分别抽取3名学生，2名学生，1名学生………6

（Ⅱ）记第3组的3名学生为A1，A2，A3；第4组的2名学生为B1，B2；第5组的1名学生为C.

从6名学生中随机抽取2名学生的所有可能的情形为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共15种情况．

其中，2名学生在同一组有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共4种情况．故所求概率为P＝1－＝. ………………13分

（18）（共14分）

证明: （Ⅰ）
……1分

……………3分

（Ⅱ）方法一：

……………5分

……………6分

……………8分

方法二：

（Ⅲ）存在点
,当
时，
∥平面
.……………9分

取
中点
,连结

………………10

,

………………11

………………13

∥平面

因此存在点
使得
∥平面
.………………14分

（19）（共13分）

解（Ⅰ）
………………2分

则
又

所以 曲线
在
处的切线方程
…………3分

（Ⅱ）有（Ⅰ）知

令
得













0







增



减





所以
的单增区间为
，单减区间为

………………………………7分

（Ⅲ）因

…8分

解
得

当
时，有
，所以
在
单调递增，

而
，
，

所以
在
只有一个零点；

…………………………10分

当
时，







1









0











增



减



增





所以
在
上无零点，在
上只有一个零点；

综上，当
时，函数
仅有一个零点

…………………………13分

（20） （共14分）

解：（Ⅰ）由题意可知
， ……………………3分

解得

所以椭圆
的标准方程为：
……………………4分

（Ⅱ）设
点的坐标为

则直线
的斜率
……………………5分

当