北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷（理工类） 2016．3

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．
为虚数单位，复数
=

A．
? B．
? C．
? D．

2． 已知全集
，函数
的定义域为
，集合
，则下列结

论正确的是

A．
B．

C．
D．

3． “
”是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4． 执行如图所示的程序框图，输出的
值为

A．42 B．19

C．8 D．3

5．在
中，角A，B，C的对边分别为

若
，则角B的值为

A．
B．

C．
D．

6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是

A. 收入最高值与收入最低值的比是

B. 结余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D. 前6个月的平均收入为40万元

（注：结余=收入-支出）



7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是

A．
B．

C．
D．

8．若圆
与曲线
的没有公共点，则半径
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9． 二项式
的展开式中含
的项的系数是 （用数字作答）．

10．已知等差数列
(
)中，
，
，则数列
的通项公式
；
______．

11．在直角坐标系
中，曲线
的方程为
，曲线
的参数方程为

为参数
．以原点
为极点，
轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲

线
与
的交点的极坐标为 ．

12．不等式组
所表示的平面区域为D．若直线
与区域D有公

共点，则实数a的取值范围是 ．

13．已知
为
所在平面内的一点，且
．若点
在
的内部(不含边界)， 则实数
的取值范围是____．

14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第

（
）项能力特征用
表示，

若学生
的十二项能力特征分别记为
，
，则

两名学生的不同能力特征项数为 （用
表示）．如果两个

同学不同能力特征项数不少于
，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有
名学生两两综合能力差异较大，则这
名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若
，求
的单调递增区间；

（Ⅱ）若
，求
的最小正周期
的表达式并指出
的最大值．

16．（本小题满分13分）

为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．

人数 本数

性别

1

2

3

4

5



男生

1

4

3

2

2



女生

0

1

3

3

1





（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4

的概率？

（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为
，求随机变

量
的分布列和数学期望；

（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差
与女学生阅读名著本数的方差
的大小（只需

写出结论）．

17．（本小题满分14分）

如图，在直角梯形
中，
，
，
．直角梯形
通过直角梯形
以直线
为轴旋转得到，且使得平面
平面
．
为线段
的中点，
为线段
上的动点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）当点
是线段
中点时，求二面角
的余

弦值；

（Ⅲ）是否存在点
，使得直线
//平面
？请说明理由．

18．（本小题满分13分）

已知函数

．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，都有
成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）试问过点
可作多少条直线与曲线
相切？并说明理由．

19．（本小题满分14分）

已知点
和椭圆

．

（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为
，
，试求
的周长及椭圆的离心率；

（Ⅱ）若直线

与椭圆
交于两个不同的点
，
，直线
，
与
轴分别交于
，
两点，求证：
．

20．（本小题满分13分）

已知等差数列
的通项公式
.设数列
为等比数列,且
.

（Ⅰ）若
,且等比数列
的公比最小，

（ⅰ）写出数列
的前4项；

（ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）证明：以
为首项的无穷等比数列
有无数多个.

北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试

数学答案（理工类） 2016．3

一、选择题：（满分40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

D

A

B

C

D

A

C



二、填空题：（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案




,













（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：（满分80分）

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当
时，

．

令
．

解得
．

所以
的单调递增区间是
.……………………7分

（Ⅱ）由

．

因为
，所以
．

则
，
．

解得
．

又因为函数
的最小正周期
，且
，

所以当

时，
的最大值为
． ………………………………………13分

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设事件
：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅

读本数之和为4 ．

由题意可知，
．………………………………………4分

（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故
的取值为

．

由题意可得
；
；

；
；

．

所以随机变量
的分布列为



























随机变量
的均值
．…………10分

（Ⅲ）

．…………………………………………………………………………13分

17．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知
，且平面
平面
，

所以
，即
．

又因为
且
，

所以
平面
．

由已知
，所以
平面
．

因为
平面
，

所以
．…………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
两两垂直．

分别以
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系如图所示．

由已知
，

所以

，
．

因为
为线段
的中点，
为线段
的中点，所以
．

易知平面
的一个法向量
．

设平面
的一个法向量为
，

由
得

取
，得
．

由图可知，二面角
的大小为锐角，

所以
．

所以二面角
的余弦值为
．………………………………9分

（Ⅲ）存在点
，使得直线
//平面
．

设
，且
，
，则
，

所以
．所以
．

设平面
的一个法向量为
，

由
得

取
，得
（显然
不符合题意）．

又
，若
//平面
，则
．

所以
．所以
．

所以在线段
上存在点
，且