2016年5月北京市怀柔区高三数学查漏补缺试题

一、三角

1． 已知函数f (x)=
sinxcosx－2cos2x +1.

(Ⅰ) 求f (
)；

(Ⅱ) 求函数f (x)图象的对称轴方程.

解： (Ⅰ)因为f (x) ＝
sin2x－cos2x

＝ 2sin(2x－
) ,

所以f (
) ＝ 2sin
＝
. ……………………(7分)

(Ⅱ) 令2x－
= k
＋
(k∈Z), 得

x=
,

所以函数f (x)图象的对称轴方程是x=
(k∈Z). ……………(14分)

2．已知函数

(Ⅰ)求
的值;

(Ⅱ)求使
成立的x的取值集合

解: (1)

.

(2)由(1)知,

3．在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 设
，
.

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）求
的值.

（Ⅰ）解：因为
，

由正弦定理
，

得
. ………………3分

由余弦定理
及
，
， ………………5分

得
，

所以
，

解得
. ………………7分

（Ⅱ）解：由
，得
.

所以
. ………………8分

即
， ………………11分

所以
，

所以
. ………………13分

4．已知函数
.

(1)求
的定义域；

(2)设
是第二象限的角，且tan
=
，求
的值.

二、数列

1.在等比数列
中，已知
，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
是等差数列，且
，
，

求数列
的公差，并计算
的值.

解：（Ⅰ）设等比数列
的公比为
，

由已知
，
， …………………2分

两式相除，得
. …………………4分

所以
， …………………6分

所以数列
的通项公式
. …………………7分

（Ⅱ）设等差数列
的公差为
，

则
，
， …………………9分

解得
，
， …………………11分

………………12分

. …………………13分

2．数列
对任意
，满足
，
.

（Ⅰ）求数列
通项公式；

（Ⅱ）若
，求
的通项公式及前
项和．

解：（Ⅰ）由已知得
　　数列
是等差数列，且公差
　

又
，得
，所以　
---------------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
，

所以

--------------------14分

三、概率统计

1．育新中学的高二、一班男同学有
名，女同学有
名，老师按照分层抽样的方法组建了一个
人的课外兴趣小组．

（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；

（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出
名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；

（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为
，第二次做试验的同学得到的试验数据为
，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.

解：（Ⅰ）

某同学被抽到的概率为
………………2分

设有
名男同学，则
，

男、女同学的人数分别为
…………4分

（Ⅱ）把
名男同学和
名女同学记为
，则选取两名同学的基本事件有

共
种，其中有一名女同学的有
种

选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
………………………8分

（Ⅲ）
，

，

第二同学的实验更稳定………………………12分

2． 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200.

根据题意，有

P(X＝10)＝C××＝，

P(X＝20)＝C××＝，

P(X＝100)＝C××＝，

P(X＝－200)＝C××＝.

所以X的分布列为：

X

10

20

100

－200



P











(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则

P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.

所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝.

因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.

(3)由(1)知，X的数学期望为EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－.

这表明，获得分数X的均值为负．

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．

四、立体几何

1．如图，在四棱锥
中，

平面
，底面
是菱形，点
是对角线
与
的交点，
，
，
是
的中点．

(Ⅰ)求证：
∥平面
；

(Ⅱ)平面

平面
；

(Ⅲ)当三棱锥
的体积等于
时，求
的长．

证明：（Ⅰ）因为在△
中，
，
分别是
，
的中点，

所以
∥
．

又
平面
，
平面
，

所以
∥平面
． ……………………5分

(Ⅱ)因为底面
是菱形，

所以
．

因为
平面
，
平面
，

所以
．又
，

所以
平面
．

又
平面
，

所以平面
平面
． ……………………10分

（Ⅲ）因为底面
是菱形，且
，
，

所以
．

又
，三棱锥
的高为
，

所以
，

解得
． ……………………14分

2. 已知在△ABC中，∠B=90o，D，E分别为边BC，AC的中点，将△CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥
（如图）.

（Ⅰ）求证：DE⊥平面
；

（Ⅱ）设平面
平面
，求证：AB∥l；

（Ⅲ）若
，
，
，F为棱
上一点，设
，当
为何值时，三棱锥
的体积是1？

证明：（Ⅰ）∵∠B=90o，D，E分别为BC，AC的中点

∴DE∥AB ……………1分

∴
，
……………3分

又∵
……………4分

∴DE⊥平面
……………5分



（Ⅱ）∵DE∥AB，
面
，
面
，

∴AB∥面
， ……………7分

又∵AB
面
，面

面

……………9分

∴ AB∥
……………10分

（Ⅲ）∵
，
，
，

∴
⊥平面BDE．

∵
∴
……………11分

又因为BD=3，AB=2，
，

∴

……………13分

解得
． ……………14分

3．如图，三角形
和梯形
所在的平面互相垂直，

，
，
是线段
上一点，

.

（Ⅰ）当
时，求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）是否存在点
满足
平面
？并说明理由.

解：（Ⅰ）取
中点
，连接
，

又
，所以
.

因为
，所以
,四边形
是平行四边形，

所以

因为
平面
，
平面

所以
平面
.

（Ⅱ）因为平面
平面
，平面
平面
=