房山区2016年高考一模

高三数学（理科）

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数
对应的点的坐标为
，则

（A）

（B）

（C）

（D）



（2）设不等式组
表示的平面区域为
，在区域
内随机取一点
，则点
落

在圆
内的概率为

（A）

（B）

（C）

（D）





（3）执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值是

（A）7



 （B）15



（C）23



（D）31





（4）在极坐标系中，过点
且平行于极轴的直线方程是

（A）

（B）

（C）

（D）



（5）函数
的定义域为
，“
是奇函数”是“存在
”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



 （C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件





（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（A）32

（B）16



（C）

（D）





（7）已知函数
若存在实数
使得该函数值域为
，

则实数
的取值范围是

（A）

（B）



 （C）

（D）





（8）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线

，另一种是平均价格曲线
，如
表示开始交易后第3小时的

即时价格为4元；
表示开始交易后三个小时内所有成交股票的平均价格为2

元.下面给出四个图象，实线表示
，虚线表示
，其中可能正确的是









（A）

（B）

（C）

（D）





二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）双曲线
的渐近线方程是___.

（10）已知向量
，若
与
垂直，则实数
___.

（11）在△ABC中，若
，
，
，则
___.

（12）在某校召开的高考总结表彰会上有3位数学老师、2位英语老师和1位语文老师做典

型发言. 现在安排这6位老师的发言顺序，则3位数学老师互不相邻的排法共有___

种.（请用数字作答）

（13）设
为等比数列
的前
项之积，且
，则公比
___，当
最大

时，
的值为___.

（14）对于函数
和实数
，若存在
，使

成立，则称
为函数
关于
的一个“生长点”. 若

为函数
关于
的一个“生长点”，则
___；若
，

，则函数
关于
的 “生长点”共有___个

三、解答题共6小题，共80分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）若
，且
，求
的值.

（16）（本小题13分）

为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为
，第二种检测不合格的概率为
，两种检测是否合格相互独立．

（Ⅰ）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；

（Ⅱ）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利
元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量
表示这3台产品的获利，求
的分布列及数学期望．

（17）（本小题14分）

在三棱锥
中，平面
平面
，△
为等腰直角三角形，
,

,
,
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段
上是否存在点
使得平面
平面
？若存在，求出
的值，若不存在，说明理由.

（18）（本小题13分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的极大值；

（Ⅱ）若
在区间
上仅有一个零点，求
的取值范围

（19）（本小题14分）

已知椭圆
的离心率是
，且椭圆
上任意一点到两个焦点的距离之和是
. 直线
与椭圆
相切于点
，且点
在第二象限．

(Ⅰ)求椭圆
的标准方程；

(Ⅱ)求点
的坐标（用
表示）；

(Ⅲ)若过坐标原点
的直线
与
垂直于点
，求
的最大值.

（20）（本小题13分）

已知数集
具有性质
：对任意的

，
与
两数中至少有一个属于
.

（Ⅰ）分别判断数集
与
是否具有性质
，并说明理由；

（Ⅱ）证明：
，且
；

（Ⅲ）当
时，证明：
成等差数列..k.s.

房山区2016年高考一模考试

数学（理）答案及评分标准201603

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

D

B

A

D

C

C





二、填空题：每小题5分，共30分．（第一空3分，第二空2分）

9.
10.
11.

12.
13.
14.

三、解答题：本大题共6小题,共80分．

15（共13分）

解：

………4分

………………6分

（Ⅰ）
，
的最大值为
………………10分

（Ⅱ）因为

所以
………………11分

因为
，所以

所以
解得
………………13分

16（共13分）

解（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则

P(A)＝1－×＝ ………………3分

（Ⅱ）
的所有可能取值为-240，-120,0,120 ………………4分

………………………………8分

所以
的分布列为

-240

-120

0

120















………………………………10分

………………………………13分

17（共14分）

解:（Ⅰ）取
中点
，连结

为等腰直角三角形，且

………………1分

又
在
中,
,
为
的中点.

………………2分

……………3分

………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）
,

∵平面
平面

平面
平面

两两垂直,以
为原点,建立空间直角坐标系如图: …5分

,
,
,

,

设平面
法向量
,

………………7分

………………8分

=
………………9分

与平面
所成角的正弦值是
.

（Ⅲ）在线段
上存在点
,使得平面
平面
，
=
…10

证明如下：设
=

由（Ⅱ）知平面
法向量

=

设平面
法向量
,

………………12分

平面
平面

即
解得
………………14分

在线段
上存在点
,当
=
时,平面
平面
.

18（共13分）

解：（I）当
时，

……2

令
得
（
舍）

随
的变化情况如下表：













0









 极大值





所以当
时，
取得极大值
………………4分

(II)
………5

①当
时，

在
上
，在
上

所以
在
上单调递增，在