北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第二次综合练习

数学试卷（理工类） 2016．5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合
，
，则
＝

A．
B．
C．
D．

2．复数
（
为虚数单位）在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．执行如图所示的程序框图，输出的
值为

A．6 B．10

C．14 D．15

4．已知非零向量
，
，“
∥
”是

“
∥
”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．同时具有性质:“①最小正周期是
；

②图象关于直线
对称；

③在区间
上是单调递增函数”的一个函数可以是

A．
B．

C．
D．

6．已知函数

且
的最大值为
,则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

7．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检 查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是

A．
B．
C．
D．

8．已知正方体
的棱长为2，
是棱
的中点，点
在正方体内部或正方体的表面上，且
∥平面
，则动点
的轨迹所形成的区域面积是

A．
B．
C．
D．

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．双曲线
的渐近线方程是 ；若抛物线
的焦点与

双曲线
的一个焦点重合，则
．

10．如图，
为⊙
外一点，
是⊙
的切线，
为切点，割线

与⊙
相交于
两点，且
，
为线段
的中点，

的延长线交⊙
于点
．若
，则
的长为______；

的值是 ．

11．已知等边
的边长为3，
是
边上一点，若
，则

的值是______．

12．已知关于
的不等式组
所表示的平面区域
为三角形区域，则实数
的取值范围是 ．

13．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设
表示前
年的纯利润（
=前
年的总收入－前
年的总费用支出－投资额），则
（用
表示）；从第 年开始盈利.

14．在平面直角坐标系
中，以点

，曲线
上的动点
，第一象限内的点
，构成等腰直角三角形
,且
，则线段
长的最大值是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，
，已知
，
．

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ) 若角
为锐角，求
的值及
的面积．

16．（本小题满分13分）

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为
，五个级别规定如下：

交通指数













级别

畅通

基本畅通

轻度拥堵

中度拥堵

严重拥堵



某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段(早晨7点至9点)的交通指数(平均值)，其统计结果如直方图所示．

（Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰

时段（早晨7点至9点）中度拥堵的

天数；

（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：

畅通时30分钟，基本畅通时35分钟，

轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50

分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图

中各种路况的频率作为每天遇到此种

路况的概率，求此人上班路上所用时间
的数学期望．

17．（本小题满分14分）

如图1，在等腰梯形
中，
，
，
，
为
中点，点
分别为
的中点．将
沿
折起到
的位置，使得平面
平面
（如图2）．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）侧棱
上是否存在点
，使得
平面
? 若存在，求出
的值；若不

存在，请说明理由．



18． （本小题满分13分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，若曲线
上的点
都在不等式组
所表示的

平面区域内，试求
的取值范围．

19．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，点
在椭圆

上，过点
的直线
的方程为
．

（Ⅰ）求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）若直线
与
轴、
轴分别相交于
两点，试求
面积的最小值；

（Ⅲ）设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
与点
关于直线
对称，求证：点

三点共线．

20．（本小题满分13分）

已知集合
，且
．若存在非空集合
，使得
，且
，并
，都有
，则称集合
具有性质
，
（
）称为集合
的
子集．

（Ⅰ）当
时，试说明集合
具有性质
，并写出相应的
子集
；

（Ⅱ）若集合
具有性质
，集合
是集合
的一个
子集，设
，

求证：
，
，都有
；

（Ⅲ）求证：对任意正整数
，集合
具有性质
．

数学答案（理工类） 2016．5

一、选择题：（满分40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

B

C

D

A

D

C



二、填空题：（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案


，


，16






,





（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：（满分80分）

15．（本小题满分13分）

解：(Ⅰ) 因为
，且
，

所以
．

因为
，

由正弦定理
，得
．…………………6分

(Ⅱ) 由
得
．

由余弦定理
，得
．

解得
或
（舍负）．

所以
． …………………13分

解: （Ⅰ）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，

据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为

260×0.25=65天. ……………………………………………………5分

（Ⅱ）由题意可知
的可能取值为
．

且
；
；
；

；
；

所以
．

…………………………………13分

17．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形
中，

由
，
，
，
为
中点，

所以
为等边三角形．如图2,

因为
为
的中点，所以
．

又因为平面
平面
，

且平面
平面
，

所以
平面
，所以
．………4分

（Ⅱ）连结
，由已知得
，又
为
的中点，

图2

所以
．

由（Ⅰ）知
平面
，

所以
，

所以
两两垂直．

以
为原点，
分别为