北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷（文史类） 2016.3

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知全集
，集合
，
，则

A．
B．
C.
D．
2.已知
为虚数单位,则复数
=

A．
? B．
? C．
? D．

3.已知非零平面向量
，“
”是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图，输出的
值为

A.
B.

C.
D.

5.在
中，角
所对的边分别为
，若
，则

A.
B.
C.
D.

6.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是

A.
B.
C.
D.

7. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是

A. 收入最高值与收入最低值的比是

B. 结余最高的月份是7月份

C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D. 前6个月的平均收入为40万元

（注：结余=收入-支出）



8. 若圆
与曲线
的没有公共点，则半径
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9.已知函数
则
.

10.已知双曲线
过抛物线
的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 .

11.已知递增的等差数列

的首项
，且
,
,
成等比数列，则数列
的通项公式
；

____.

12.已知不等式组
表示的平面区域为
.若直线
与区域
有公共点，则实数a的取值范围是 .

13.已知圆
，过圆心
的直线
交圆
于
两点，交
轴于点
. 若
恰为
的中点，则直线
的方程为 .

14.甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”， “3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数
（
）的最小正周期为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值.

16.(本小题满分13分）

已知数列
的前
项和
,
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
.

17. (本小题满分13分)

某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查.调查结果如下表:

阅读名著的本数

1

2

3

4

5



男生人数

3

1

2

1

3



女生人数

1

3

3

1

2





（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数;

（Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；

（Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差
与女生阅读名著本数的方差
的大小

（只需写出结论）．（注：方差
，其中
为

，……
的平均数）

18.（本小题共14分）

如图，在三棱柱
中，
底面
，
，
，

．
分别为
和
的中点，
为侧棱
上的动点．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若
为线段
的中点，求证：
平面
；

（Ⅲ）试判断直线
与平面
是否能够垂直.

若能垂直，求
的值；若不能垂直，请说明理由．

19.(本小题共14分）

已知椭圆

的焦点分别为
.

（Ⅰ）求以线段
为直径的圆的方程；

（Ⅱ）过点
任作一条直线
与椭圆
交于不同的两点
.在
轴上是否存在点
，使得
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.

20. （本题满分13分）

已知函数

.

（Ⅰ）若
求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）设
，若函数
在区间
上存在极值点，求
的取值范围.

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数学答案（文史类） 2016.3

一、选择题：（满分40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

C

B

C

B

D

C



二、填空题：（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案






，





或

1，2，3，4



（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：（满分80分）

15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

.

因为
的最小正周期为
，则
. …………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
.

因为
所以
.

则
.

当
，即
时，
取得最大值是
；

当
，即
时，
取得最小值是
.

在区间
的最大值为
，最小值为
. …………………13分

16. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由
，

当
时，

当
时，
而
，

所以数列
的通项公式
，
. ………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

当
为偶数时，

当
为奇数时，
为偶数，

综上，
…………………………13分

17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）女生阅读名著的平均本数
本.

…………………………3分

（Ⅱ）设事件
={从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}.

男生阅读5本名著的3人分别记为
，女生阅读5本名著的2人分别记为

从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是：

，
，
，
，
，
，

，
，
，
.

其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：

，
，
，
，
，
.

则
. …………………………10分

（III）
. …………………………13分

18. （本小题满分14分）

证明：

（Ⅰ）由已知，
为
中点，且
，所以
．

又因为
，且
底面
，所以
底面
．

因为
底面
，所以
，

又
，

所以
平面
．

又因为
平面
，

所以平面
平面
． ……………………5分

（Ⅱ）

取
中点
，连结
，
，
，
.

由于
，
分别为
，
的中点，

所以


,且


.

则四边形
为平行四边形，所以


.

又

平面
，

平面
，

所以

平面
.

由于
，
分别为
，
的中点，

所以


.

又
，
分别为
，
的中点，

所以


.

则