丰台区2015—2016学年度第二学期统一练习（一） 2016.3

高三数学（理科）

第一部分 （选择题 共40分）

一.选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知全集
，集合
，
，那么集合
等于（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

2．在下列函数中，是偶函数,且在
内单调递增的是

（A）
（B）
（C）
（D）

3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h的概率

（A） 75，0.25 （B）80,0.35

（C）77.5,0.25 （D）77.5,0.35

4. 若数列
满足
，且
与
的等差中项是5，则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

5. 已知直线m,n和平面
，若
⊥
，则“
?
”是“
⊥
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

6. 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有

（A） 72 （B）54 （C） 48 （D） 8

7.如图，已知三棱锥
的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90O，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x,y,z分别是

（A）
,2,2

（B）4,2,

（C）
,
，2

（D）
,2,

8. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴来表示产品数量（因变量）.某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P0.能正确表示上述供求关系的图形是

（A） （B）

（C） （D）

第二部分 （非选择题 共110分）

一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9.已知双曲线
的一条渐近线为
，那么双曲线的离心率为_________.

10. 如图，BC为⊙O的直径，且BC=6，延长CB与⊙O在点D处的切线交于点A，若AD=4，则AB=________.

11. 在
中角
，
，
的对边分别是
，
，
，若
，则
________．

12. 在梯形ABCD中，
,
，E为BC中点，若
,则x+y=_______.

13. 已知
满足
（k为常数），若
最大值为8，则
=________.

14.已知函数
若
，则
的取值范围是______.

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

已知函数
.

(Ⅰ)求
的最小正周期；

(Ⅱ)当
时，求函数
的单调递减区间.

16.（本小题共13分）

从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验.

（Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.

①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率；

②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X，求E（X）.

(Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y 的均值E(Y)，请指出（Ⅰ）②中E（X）与E(Y)的大小关系.（只写结论,不需说明理由）

17.（本小题共13分）

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且
BAD=60°，对角线AC与BD相交于O；OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2.

(Ⅰ)求证： EF//BC；

(Ⅱ)求直线DE与平面BCFE所成角的正弦值.

18.（本小题共14分）

已知函数
.

（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）若
在区间
上恒成立，求
的最小值.

19.（本小题共14分）

已知椭圆G：
的离心率为
，短半轴长为1.

（Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）设椭圆G的短轴端点分别为
，点
是椭圆G上异于点
的一动

点，直线
分别与直线
于
两点，以线段MN为直径作圆
.

① 当点
在
轴左侧时，求圆
半径的最小值；

② 问：是否存在一个圆心在
轴上的定圆与圆
相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

20.（本小题共13分）

已知数列
是无穷数列，
（
是正整数），
.

（Ⅰ）若
，写出
的值；

（Ⅱ）已知数列
中
，求证：数列
中有无穷项为1；

（Ⅲ）已知数列
中任何一项都不等于1，记

为
较大者）.求证：数列
是单调递减数列.

丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（一）

数 学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

 C

 A

 D

 B

 A

 C

A

D





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9.
10.
11.
12.
13.
14.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

解：(Ⅰ)

的最小正周期为
. ----------------------------------7分

(Ⅱ)当
时，函数
单调递减,

即
的递减区间为：
,

由
=
,

所以
的递减区间为：
. ------------------------------------13分

16. 解：（Ⅰ）①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A.

恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为
.-----4分

②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X的可能取值为1，2，3.

,
，
.

则X的分布列为：



















所以：E（X）=
--------------------------------------------11分

(Ⅱ)
------------------------------------------------------------------13分

17. 解：(Ⅰ)因为四边形
为菱形

所以
∥
，且
面
，
面

所以
∥面
且面
面

所以
∥
. ----------------------------------------------------------6分

(Ⅱ)因为
面

所以
，

又因为

以
为坐标原点，
，
，
分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，取
的中点
，连
. 易证EM⊥平面ABCD.

又因为
，得出以下各点坐标：

向量
，向量
，向量

设面
的法向量为：

得到

令
时

设
与
所成角为
，直线
与面
所成角为
.

=
=
=
=

直线EF与平面BCEF所成角的正弦值为
.----------------------------------------13分

18.设函数
.

（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）若
在区间
上恒成立，求
的最小值.

解：（Ⅰ）设切线的斜率为

因为
，切点为
.

切线方程为
，化简得：
.----------------------------4分

（Ⅱ）要证：

只需证明：
在
恒成立，

当
时
，
在
上单调递减；

当
时
，
在
上单调递增；

当
时

在
恒成立

所以
.--------------------------------------------------------------------------10分

（Ⅲ）要使：
在区间在
恒成立，

等价于：
在
恒成立，

等价于：
在
恒成立

因为
=
=

①当
时，
，
不满足题意

②当
时，令
，则
或
（舍）.

所以
时
，
在
上单调递减；

时
，
在
上单调递增；

当
时

当
时，满足题意

所以
，得到
的最小值为
-----------------------------------14分

19. 解：（Ⅰ）因为
的离心率为