东城区2015-2016 学年度第二学期高三综合练习（一）

数学（文科）2016. 4

本试卷共6 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷

上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题共40 分）

一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项）

1．若集合A＝
，B＝
，则 A
B ＝

A．
　　　B．

C．
?　　　D．

2．已知直线
与直线
互相垂直，则a＝

A、－3　　　　　　　　　　　B、－1　　

C．1　　　 　　　　　　　　D．3

3．已知
，则三个数的大小关系是

A．c＞a＞b　　 　　　　　　B．a＞c＞b 　　

C．a＞b＞c　　　　　　　　 D．b＞c＞a

4．若x，y 满足
，则u＝2x＋y的最大值为

A．3 　　　　　　　　　　B．
　　　　

C．2 　　　　　　　　　　D．

5．已知数列
的前n项和Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋
，则S11＝

A．－21 　　　　　　　　B．－19 　　　

C．19 　　　　　　　　　　D．21

6．在△ABC 中，角 A、B、C所对的边分别为a，b，c ，则“ a ＝b ”是“ acosB＝bcos A ”

的

A．充分而不必要条件　　　　B．必要而不充分条件

C．充分必要条件　　　　　　D．既不充分也不必要条件

7．下面的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，

执行该程序框图，若输入a，b ，i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为

A．0，3 　　B．0，4 　　C．2，3 　　D．2，4

8．函数
的定义域为［－1,1］，图象如图1所示，函数
?的定义域为［－1,2］，图象如

图 2 所示，若集合 A＝
，B＝
，则 A
B中元素的个数

为

A．1 　　B．2 　　C．3 　　D．4

第Ⅱ卷（非选择题共110 分）

二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分）

9．若复数
是实数，则a ＝　　　　．

10．以抛物线 y2＝4x的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为　　　．

11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 P 是上底面A1B1C1D1 内一动点，则三棱锥

P- ABC 的正（主）视图与侧（左）视图的面积的比值为　　　．

12．已知函数

⑴若 f ( f (?1)) ＝0，则实数a ＝　　　；

⑵在⑴的条件下，若直线 y＝m与 y＝f (x)的图象有且只有一个交点，则实数m的取

值范围是　　　．

13．如图，在矩形OABC 中，点 E ， F 分别在线段 AB，BC 上，且满足 AB ＝3AE ，

BC＝3CF ．若
（
），则
＝　　　．

14．每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动，活动将65个家庭分成A ，B 两组，A 组负责种植150 棵银杏树苗， B 组负责种植160 棵紫薇树苗，根据往年的统计，
h，种植一棵紫薇树苗用时
h，假定A ， B 两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则A 组的家庭数为　　　，此时活动持续的时间为

　　　　h ．

三、解答题（本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

15．（本小题共13 分）

已知函数
。

（Ⅰ）求 f (x)的最小正周期；

（Ⅱ）求 f (x)在区间［0，
］上的最大值和最小值．

16．（本小题共13 分）

已知公差为正数的等差数列
满足a1＝1，2a1，a3－1，a4＋1成等比数列．

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）若a2，a5分别是等比数列
的第1项和第2 项，求使数列
的前n 项和
的最大正整数n ．

17．（本小题共14 分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD是菱形，点O是对角线

AC 与BD的交点， AB ＝2，∠BAD＝60°，M是PD的中点．

（Ⅰ）求证： OM ∥ 平面PAB ；

（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC ；

（Ⅲ）当三棱锥C －PBD的体积等于
时，求PA的长．

18．（本小题共13 分）

“爱心包裹”是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项全民公益活动，社会各界爱心人

士只需通过中国邮政网点捐购统一的爱心包裹，就可以一对一地将自己的关爱送给需要

帮助的人．某高校青年志愿者协会响应号召，组织大一学生作为志愿者，开展一次爱心

包裹劝募活动．将派出的志愿者分成甲、乙两个小组，分别在两个不同的场地进行劝募，

每个小组各6 人．爱心人士每捐购一个爱心包裹，志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪

念．以下茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数，且图中甲组

的一个数据模糊不清，用x 表示．已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少1 个．

⑴求图中x 的值；

⑵ “爱心包裹”分为价值100 元的学习包和价值200 元的“学习+生活”包，在乙组劝募的

爱心包裹中100 元和200 元的比例为3 :1 ，若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心包

裹的个数，求乙组全体成员劝募的爱心包裹的价值总额；

⑶在甲组中任选2 个志愿者，求他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率．

19．（本小题共13 分）

已知F1（－1，0）和F2（1，0）是椭圆C：
的两个焦点，且点P（1，
）在椭圆C 上．

⑴求椭圆C 的方程；

⑵直线l : y ＝kx＋m（m ＞ 0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x轴和 y轴分别交于点

M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l的方程．

20．（本小题共14 分）

已知函数 f（x）＝ x2－a ln x，a
R ．

（I）若 f（x）在x ＝1处取得极值，求a的值；

（II）求f（x）在区间［1，＋
上的最小值；

（III）在（I）的条件下，若
f（x），求证：当1＜x＜e2时，恒有

?
成立．

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