东城区2015-2016 学年度第二学期高三综合练习（一）

数学（理科）2016.4

本试卷共5 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷

上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题共40 分）

一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项）

1．已知复数
为纯虚数，那么实数a的值为

　A．－1 　　　　B．0 　　C．1 　　　　D．2

2．集合
，
，若
，则a的取值范围是

　A．a≥5 　　B．a≥4 　C．a ＜ 5 　D．a＜4

3．某单位共有职工150 名，某中高级职称45 人，中级职称90 人，初级职称15 人，现采用

分层抽样方法从中抽取容量为30 的样本，则各职称人数分别为

A．9，18，3 　　B．10，15，5 　

C．10，17，3 　　D．9，16，5

4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为

　A．

B．1 　

C．2 　

D．4

5．在极坐标系中，直线
被曲线
1截得的线段长为

　A．
　　　B．

　C．1 　　　D．

6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为

A．2 　

B．2
　

C．3 　

D．

7．已知三点P（5，2），F 1（－6，0），F2 （6，0 ），那么以F 1，F2 为焦点且过点P 的椭圆的短轴长为

　A．3 　B．6 　C．9 　D．12

8．已知e1，e2为平面上的单位向量， e1与e2的起点均为坐标原点O ，e1与e2的夹角为
，

平面区域D由所有满足
的点P 组成，其中
，那么平面区域D的面积为

　A．
　　　B．
　　C．
　　D．

第II卷（非选择题共110 分）

二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分）

9．在
的展开式中，x3项的系数为　　　　（用数字作答）

10．已知等比数列
中，
，那么a8的值为　　　　．

11．如图，圆O 的半径为1， A， B ，C 是圆周上的三点，过点A 作圆O 的切线与OC 的

延长线交于点P．若CP ＝AC ，则∠COA ＝　　　　； AP＝　　　　 ．

12．若sin
＝
，且
，则sin 2
的值为　　　　．

13．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如

下表：

在最合理的安排下，获得的最大利润的值为　　　　．

14．已知函数 f (x) ＝｜ln x｜，关于x的不等式f (x) －f (x0 )≥c(x－x 0)的解集为(0，＋
)，c 为

常数．当x0＝1时，c 的取值范围是　　　　 ；当x 0＝
时， c 的值是　　　　．

三、解答题（本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

15．（本小题共13 分）

在△ABC 中，BC ＝2
， AC ＝2，且 cos( A＋B) ＝－
。

（Ⅰ）求AB 的长度；

（Ⅱ）若 f (x) ＝sin(2x ＋C)，求 y ＝ f (x)与直线y ＝
相邻交点间的最小距离．

16．（本小题共14 分）

已知三棱柱ABC－A1B1C1 中，A1 A⊥底面 ABC ，∠BAC＝90°，A A1 ＝1，AB ＝
，AC ＝2，

E ， F 分别为棱C 1C ， BC 的中点．

（1）求证：AC ⊥A 1B；

（2）求直线EF 与 A1B 所成的角；

（3）若G 为线段A1A 的中点， A1在平面EFG 内的射影为H ，求∠HA 1A．

17．（本小题共13 分）

现有两个班级，每班各出4 名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比

赛（注：每名选手打且只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所

需时间如图表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．

（1）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；

（2）设随机变量X 表示第三场比赛开始时需要等待的时间，求X的数学期望；

（3）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．

18．（本小题共14 分）

设函数 f (x) ＝aex －x－1，a
R ．

（1）当a ＝1时，求 f (x)的单调区间；

（2）当x
(0，＋
)时， f (x) ＞0恒成立，求a的取值范围；

（3）求证：当x
(0，＋
)时，

19．（本小题共13 分）

已知抛物线C : y2 ＝2 px（p＞ 0），其焦点为F，O为坐标原点，直线 AB（不垂直于x轴）

过点F 且抛物线C交于 A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为－p ．

（1）求抛物线C 的方程；

（2）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点　D ，求证：
＞2

20．（本小题共13 分）

数列
中， 给定正整数m（m＞1），V （m ）＝
．定义：数列
满足
（i ＝1，2，…，m－1），称数列
的前m 项单调不增．

（1）若数列
的通项公式为
，求V（5）．

（2）若数列
满足：
，求证：V（m）＝a －b的充分必要条件是数列
的前m 项单调不增．

（3）给定正整数m（m＞1），若数列
满足：
，（n ＝1，2，…，m），且数列
的前m项和为m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可）

答案解析

20.

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