北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）

数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)

1．集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2．已知命题p：
x∈R有sinx
1，则﹁p 为

A.
B.

C.
D.

3．如图，
为正三角形，
，
底面
，若
，
，则多面体
在平面
上的投影的面积为

A.
B.
C.
D.

4．若向量
，
，
满足条件
与
共线，则
的值

A.
B.

C.
D.

5．成等差数列的三个正数的和等于
，并且这三个数分别加上
、
、
后

成 为等比数列
中的
、
、
，则数列
的通项公式为

A.
B.
C.
D.

6．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品。根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：

优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；

优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；

优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%。

若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为

179元? ?B. 199元? ? C. 219元? D. 239元

7． 已知函数
则
的值为

A.
B.
C.
D.

8．集合
，若
，已知
，定义集合
中元素间的运算
，称为
运算，此运算满足以下运算规律：

①任意
有

②任意
有
(其中
)

③任意
，
有

④任意
有
，且
成立的充分必要条件是
为向量.

如果
，那么下列运算属于
正确运算的是

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．设
是虚数单位，复数
所对应的点在第一象限，则实数
的取值范围为___.

10．设变量x，y满足约束条件
,则目标函数
的最大值为 .

11．已知直线
与直线
相交于点
，又点
，

则
.

12．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为
，
，
由此得到频率分布直方图如图. 则产品数量位于
范围内的频率为_____；这20名工人中一天生产该产品数量在
的人数是　　　.

13．若点
和点
分别为双曲线
（>0）的中心和左焦点，点
为双曲线右支上的任意一点，则
的取值范围为___．

14．已知函数
，关于此函数的说法正确的序号是__.

①
为周期函数； ②
有对称轴； ③
为
的对称中心 ；④
.

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

15．（本小题共13分）

已知函数
(
)，且函数
的最小正周期为
.

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)求
在区间
上的最大值和最小值.

16．（本小题共14分）

如图，
是等腰直角三角形
，
，
分别为
的中点，沿
将
折起，得到如图所示的四棱锥

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）当四棱锥
体积取最大值时，

(i)若
为
中点，求异面直线
与
所成角；

(ii)在
中
交
于
，求二面角
的余弦值．

17．（本小题共13分）

在2015-2016赛季
联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数
，
表示投篮次数，
表示命中次数）,假设各场比赛相互独立.

场次

球员























甲























乙























根据统计表的信息:

（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；

（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；

（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望.

18．（本小题共14分）

已知
，
．

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，求证：对于
，
恒成立；

（Ⅲ）若存在
，使得当
时，恒有
成立，试求
的取值范围．

19．（本小题共13分）

已知椭圆

过点(
，
)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设
是椭圆
上的动点，
是
轴上的定点，求
的最小值及取最小值时点
的坐标.

20．（本小题共13分）

数列
中，定义：
，
.

（Ⅰ）若
，
，求
；

(Ⅱ) 若
，
，求证此数列满足
；

（Ⅲ）若
，
且数列
的周期为4，即
，写出所有符合条件的
.

北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）

数学参考答案及评分标准 （理科）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.C 7.A 8.D

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

9.
10.
11.
12.
． 13.
14. ①②④

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

15.（本小题共13分）

解：(Ⅰ)因为
，

又
的最小正周期为
，

所以

，即
=2. --------------------------------------------------------------------6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
，

因为
，

所以
.

由正弦函数的性质可知，当
，即
时，函数
取得最大值，最大值为f(
)=3；

当
时，即
时，函数
取得最小值，最小值为f(
)=0. ------13分

16.（本小题共14分）

证明：（Ⅰ）因为
是等腰直角三角形
，
分别为
的中点，

所以
，
.

又因为
,

所以
.

由于
,

所以有
. -------------------------4分

解：（Ⅱ）(i)

取
中点
，连接
,

由于
为
中位线，以及
为
中位线,

所以四边形
为平行四边形.

直线
与
所成角就是
与
所成角.

所以四棱锥
体积取最大值时，
垂直于底面
.

此时
为等腰直角三角形，
为中线，

所以直线
.

又因为
,

所以直线
与
所成角为
.

-------------------------------------------------------10分

(ii) 因为四棱锥
体积取最大值,

分别以
所在直线为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系如图，

则
，
，
，
，
.

设平面
的一个法向量为
,由
得
,

取
，得