北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）

数学 （文科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

（1）已知集合
，
，那么

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）执行如图所示程序框图，则输出的结果是

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）已知
，
为圆
上关于点
对称的两点，则直线
的方程为

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）设
，
为实数，则“
”是“
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）已知函数
是偶函数,且
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）已知向量
，将向量
绕坐标原点
逆时针旋转
角得到向量

，则下列说法不正确的是

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）如图，在边长为
的正方形组成的网格中，有椭圆
，
，
，它们的离心率分别为
，
，
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为
，则复数
．

（10）若函数
在区间
上有且只有一个零点，则实数
．

（11）已知双曲线
的虚轴长是实轴长的
倍，则实数
.

（12）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为________.

（13）已知数列
满足
,
，且
，
，则
；数列
的前
项的和为________．

（14）一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：

优惠劵A：若商品标价超过
元，则付款时减免标价的
；

优惠劵B：若商品标价超过
元，则付款时减免
元；

优惠劵C：若商品标价超过
元，则付款时减免超过
元部分的
．

某顾客想购买一件标价为
元的商品，若想减免钱款最多，则应该 使用优惠劵 （填A,B,C）；若顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多， 则他购买的商品的标价应高于________元．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
，且
．

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）若
，且
，求△
的面积．

（16）（本小题共13分）

已知等差数列
满足
，
，其前
项和为
.

（Ⅰ）求
的通项公式及
；

（Ⅱ）令
，求数列
的前
项和.

（17）（本小题共14分）

在梯形
中，
，
，
.平面
⊥平面
，四边形
是矩形，
，点
在线段
上．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）试问当
为何值时，
平面
？证明你的结论．

（Ⅲ）求三棱锥
的体积.

（18）（本小题共13分）

某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了
辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数
（单位：公里）分为
类，即
类：
，
类：
，
类：
．该公司对这
辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：

类型


类


类


类



已行驶总里程不超过
万公里的车辆数









已行驶总里程超过
万公里的车辆数









（Ⅰ）从这
辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过
万公里的概率；

（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取
辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从
类车中抽取了
辆车．

（ⅰ）求
的值；

（ⅱ）如果从这
辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过
万公里的概率．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆

与
轴交于
两点，
为椭圆
的左焦点，且△
是边长为
等边三角形．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆
交于
，
两点，点
关于
轴的对称点为
（
与
不重合），则直线
与
轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

（20）（本小题共14分）

设函数
，
．

（Ⅰ）若
，求
在区间
上的最大值；

（Ⅱ）设
，求证：当
时，过点
有且只有一条直线与曲线
相切；

（Ⅲ）若对任意的
，均有
成立，求
的取值范围．

北京市东城区2015-2016学年第二学期高三综合练习（二）

数学参考答案及评分标准 （文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）C （3）D （4）A

（5）B （6）B （7）C （8）D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）

（11）
（12）

（13）

（14）B

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）由
，得
.

又
，所以
．

由余弦定理可得
． ……………………6分

（Ⅱ）由已知
，且
,

所以
．

故△
的面积
． ………………… 13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，

由
，得
，

又
，解得
．

所以
．

所以
． ……………………6分

（Ⅱ）由
，得
．

设
的前
项和为
，

则
．

故数列
的前
项和为
． ………………… 13分

（17）（共14分）

证明：（Ⅰ）由题意知，梯形
为等腰梯形，且
，
，

由
，可知
.

又平面
平面
，且平面
平面

，
平面
，

所以
平面
.

又
平面
，

所以

. ……………………5分

（Ⅱ）当
时，
平面
.

证明如下：

当
，可得
，故

在梯形
中，设
，连结
，由已知可得
，

所以
.

所以
.

又
,

所以四边形
为平行四边形.

所以
.

又
平面
，
平面
，

所以
平面
.

当
时，