北京市2016高三预测金卷

理科数学

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.等比数列
中，
，则数列
的前8项和等于 （ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

3.已知双曲线C的离心率为2，焦点为
、
，点A在C上，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4.若向量
满足：
则
（ ）

A．2 B．
C．1 D．

5.若以直角坐标系的原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段
的极坐标为（ ）

B.
C.
D.

6.若
则
（ ）

A.
B.
C.
D.1

7.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有
个红球和
个篮球
，从乙盒中随机抽取
个球放入甲盒中.

（a）放入
个球后，甲盒中含有红球的个数记为
；

（b）放入
个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为
.

则

B.

C.
D.

8.在
的展开式中，记
项的系数为
，则
（ ）

A.45 B.60 C.120 D. 210

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）

9.执行右侧的程序框图，若输入
，则输出
.

 10.若函数
在区间
是减函数，则
的取值范围是 .

11.当实数
，
满足
时，
恒成立，则实数
的取值范围是________.

12.已知曲线C：
，直线l：x=6。若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得
，则m的取值范围为 。

13.在平面直角坐标系中，倾斜角为
的直线
与曲线
，（
为参数）交于
、
两点，且
，以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线
的极坐标方程是________.

14.如图，
为⊙
外一点，过
点作⊙
的两条切线，切点分别为
，过
的中点
作割线交⊙
于
两点，若
则
.

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

15.（本小题满分13分）

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin2A﹣cosA=0．

（1）求角A的大小；

（2）若b=
，sinB
sinC，求a．

16. （本小题满分13分）

某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B、C、D三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用．已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响．若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B、C、D测试合格的概率分别为
，
，
，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是
．

（Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；

（Ⅱ）假设小李选择测试点B、C进行测试，小王选择测试点B、D进行测试，记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

17.（本小题满分13分）

如图，三棱柱
中，点
在平面ABC内的射影D在AC上，
，
.

（I）证明：
；

（II）设直线
与平面
的距离为
，求二面角
的大小.

18.（本小题满分13分）

已知函数
.

当
时，求
的极值；

若
在区间
上单调递增，求b的取值范围.

19.(本题满分14分)

如图，设椭圆
动直线
与椭圆
只有一个公共点
，且点

在第一象限.

已知直线
的斜率为
，用
表示点
的坐标；

若过原点
的直线
与
垂直，证明：点
到直线
的距离的最大值为
.

20.（本小题满分 14 分）

设实数
，整数
，
.

（I）证明：当
且
时，
；

（Ⅱ）数列
满足
，
，证明：
．

试卷答案

1.B 2.C 3.A 4.B 5.A【解析】

所以选A。

6.B【解析】设
，则
，
，所以
.

7.A【解析】

8.C【解析】

9. 【答案】

【解析】

10. 【答案】
．

11. 【答案】

【解析】

12. 【答案】

【解析】

13.

14. 【答案】4

15. 【考点】正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（1）已知等式利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出sinA的值，即可确定出A的度数；

（2）已知等式利用正弦定理化简，把b的值代入求出c的值，利用余弦定理列出关系，将b，c，cosA的值代入即可求出a的值．

【解答】解：（1）由sin2A﹣cosA=0，得2sinAcosA﹣cosA=0，

即cosA（2sinA﹣1）=0得cosA=0或sinA=
，

∵△ABC为锐角三角形，

∴sinA=
，

则A=
；

（2）把sinB=
sinC，由正弦定理得b=
c，

∵b=
，∴c=1，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3+1﹣2×
×1×
=1，

解得：a=1．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

16. 考点： 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．

专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，已知
．求出小李在（B、C），（B、D），（C、D）测试点测试参加面试的概率，由概率的大小得答案；

（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，由题意得到
，求出ξ的所有取值，然后利用相互独立事件和定理重复试验求得概率，列出分布列，然后由期望公式求期望．

解答： 解：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，

由题意，
．

若选择在B、C测试点测试，则参加面试的概率
，

若选择在B、D测试点测试，则参加面试的概率
，

若选择在C、D测试点测试，则参加面试的概率
．

∵P2＞P1＞P3，∴小李在B、D测试点测试，参加面试的可能性大．

（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，

则
，且ξ的所有取值为0，1，2，3，4．

P（ξ=0）=
，

P（ξ=1）=

=
，

P（ξ=2）=

=
，

P（ξ=3）=

=
，

P（ξ=4）=
．

ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

4





P













∴数学期望Eξ=
．

点评： 本题考查了离散型随机变量的期望的应用，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，考查了相互独立事件和独立重复试验，是中档题．

17.解：解法一：（I）
平面
，
平面
，故平面
平面
．又
，

平面
．连结
，∵侧面
为菱形，故
，由三垂线定理得
；（II）
平面
平面
，故平面
平面
．作
为垂足，则
平面
．又直线
∥平面
，因而
为直线
与平面
的距离，
．∵
为
的角平分线，故
．作
为垂足，连结
，由三垂线定理得
，故
为二面角
的平面角．由
得
为
的中点，
∴二面角
的大小为
．

解法二：以
为坐标原点，射线
为
轴的正半轴，以
长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
．由题设知
与
轴平行，
轴在平面
内．

（I）设
，由题设有
则
由
得
，即
（①）．于是
．

（II）设平面
的法向量
则
即
．

故
，且
．令
，则
，点
到平面
的距离为
．又依题设，点
到平面
的距离为
．代入①解得
（舍去）或
．于是
．设平面
的法向量
，则
，即
，故且
．令
，则

．又
为平面
的法向量，故
，∴二面角
的大小为
．

18.（1）当
时，
的定义域为

令
，解得

当
时，
，所以
在
上单调递减；

当
时，
，所以
在
上单调递增；

所以，当
时，
取得极小值
；当
时，
取得极大值
。

在
上单调递增

且不恒等于0对x
恒成立……………………7分

……………………………………8分

……………………………………10分

……