北京市2016高三预测金卷

文科数学

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合
则

A．[一1，2） B．[2，+∞） C．[一l，2] D．[一1，+∞）

2. 已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是( )

A．f（x）=
﹣x3 B．f（x）=
+x3 C．f（x）=
﹣x3 D．f（x）=﹣
﹣x3

3. 已知双曲线c：
=1（a＞b＞0），以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N（异于原点O），若|MN|=2
a，则双曲线C的离心率是( )

A．
B．
C．2 D．

4. 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )

A．
B．
C．
D．

5. 设P（x，y）是函数y=f（x）的图象上一点，向量
=（1，（x﹣2）5），
=（1，y﹣2x），且满足
∥
，数列{an}是公差不为0的等差数列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=36，则a1+a2+…+a9=( )

A．0 B．9 C．18 D．36

6. 若直线（m+l）x+（n+l）y﹣2=0（m，n∈R）与圆（x﹣l）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（　　）

A．
B．

C．
D．

7. 如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )

A．
B．
C．
D．

8.下面是关于公差
的等差数列
的四个命题：

其中的真命题为

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）

9.方程
的实数解为 .

10.学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .

11. 设a + b = 2, b>0, 则
的最小值为 .

12. 已知抛物线
的准线过双曲线
的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .

13. 已知向量
=（1，2n），
=（m+n，m）（m＞0，n＞0），若
，则m+n的最小值为 ．

14. 在平面直角坐标系中，倾斜角为
的直线
与曲线
，（
为参数）交于
、
两点，且
，以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线
的极坐标方程是________.

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

15.（本小题满分13分）

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin2A﹣cosA=0．

（1）求角A的大小；

（2）若b=
，sinB=
sinC，求a．

16 (本小题满分13分)

下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．

已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8．

（Ⅰ）求x，y的值；

（Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率．

17.（本小题共13分）

四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD中点，PA=2AB=2．

（Ⅰ）求证CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE体积．

18.（本小题满分共13分）

已知函数f（x）=
+ax，x＞1．

（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；

（Ⅲ）若存在实数a使f（x）在区间（
）（n∈N*，且n＞1）上有两个不同的极值点，求n的最小值．

19(本小题满分14分)

已知椭圆C：
（a＞b＞0）经过点（1，
），离心率为
．

（1）求椭圆C的方程；

（2）不垂直与坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点P（0，
），若cos∠APB=﹣
，求直线l的方程．

20.（本小题共14分）

已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1+a2+a3=9，b1b2b3=27．

（1）若a4=b3，b4﹣b3=m．

①当m=18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；

②若数列{bn}是唯一的，求m的值；

（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最大值．

试卷答案

1. A

解：

2. A

【考点】函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】本题是选择题，可采用排除法，根据函数的定义域可排除选项C再根据特殊值排除B，D，即可得到所求

【解答】解：由图象可知，函数的定义域为x≠a，a＞0，故排除C，

当x→+∞时，y→0，故排除B，当x→﹣∞时，y→+∞，故排除B，

当x=1时，对于选项A．f（1）=0，对于选项D，f（1）=﹣2，故排除D．

故选：A．

【点评】本题主要考查了识图能力，数形结合的思想，属于基础题

3. C

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：连接NF，设MN交x轴于点B，根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性，求出N（
，
），再由|NF|=c在Rt△BNF中利用勾股定理建立关于a、b、c的关系式，化简整理可得c=2a，由此即可得到该双曲线的离心率．

解答： 解：连接NF，设MN交x轴于点B

∵⊙F中，M、N关于OF对称，

∴∠NBF=90°且|BN|=
|MN|=

=
，

设N（m，
），可得
=
，得m=

Rt△BNF中，|BF|=c﹣m=

∴由|BF|2+|BN|2=|NF|2，得（
）2+（
）2=c2

化简整理，得b=
c，可得a=
，故双曲线C的离心率e=
=2

故选：C

点评：本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点，在已知圆F被两条渐近线截得弦长的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．

4. D

考点：古典概型及其概率计算公式．

专题：概率与统计．

分析：把本题转化为古典概率来解，他第2次抽到时，盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡，根据古典概率计算公式求得他第2次抽到的是卡口灯泡的概率．

解答： 解：在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，这时盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡，

这时，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为
=
，

故选D．

点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．

5. C

【考点】等差数列的性质．

【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列；平面向量及应用．

【分析】由向量共线求出函数f（x）的解析式，设g（x）=f（x+2），利用函数的奇偶性以及等差数列的性质求出a5的值，从而求出a1+a2+…+a9的值．

【解答】解：∵向量
=（1，（x﹣2）5），
=（1，y﹣2x），且
∥
，

∴y﹣2x﹣（x﹣2）5=0，

即y=（x﹣2）5+2x，

∴f（x）=（x﹣2）5+2x；

令g（x）=f（x+2）﹣4=x5+2x，

则函数g（x）为奇函数，且是定义域内的增函数，

由f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=36，

得g（a1﹣2）+g（a2﹣2）+…+g（a9﹣2）=0，

又数列{an}是公差不为0的等差数列，

∴g（a5﹣2）=0，即a5﹣2=0，a5=2，

∴a1+a2+…+a9=9a5=9×2=18．

故选：C．

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与等差数列的性质以及函数的性质与应用问题，是综合性问题．

6.D

考点： 直线与圆的位置关系．

专题： 计算题；直线与圆．

分析： 由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．

解答： 解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，

∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，

∴圆心到直线的距离d=
=1，

整理得：m+n+1=mn≤
，

设m+n=x，则有x+1≤
，即x2﹣4x﹣4≥0，

∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2
，x2=2﹣2
，

∴不等式变形得：（x﹣2﹣2
）（x﹣2+2
）≥0，

解得：x≥2+2
或x≤2﹣2
，

则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2
]∪[2+2
，+∞）．

故选：D．

点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．

7.D

【考点】循环结构．

【专题】图表型．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出
值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．

【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

是否继续循环 x y z

循环前/1 1 2

第一圈 是1 2 3

第二圈 是2 3 5

第三圈 是3 5 8

第四圈 否

故最终的输出
结果为：

故选D．

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．

8.B

9.【答案】log34

10. 【答案】78

11. 【答案】

12. 【答案】

13.
﹣1

考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用；不等式．

分析：进行数量积的坐标运算得到m+n+2mn=1，根据基本不等式便有
，从而便得到不等式（m+n）2+2（m+n）﹣2≥0，根据m＞0，n＞0，从而解该关于m+n的一元二次不等式便可得到
，从而m+n的最小值便为
．

解答： 解：
；

∵m＞0，n＞0；

∴
；

∴
；

即（m+n）2+2（m+n）﹣2≥0；

解关于m+n的一元二次不等式得，
，或m
（舍去）；

∴m+n的最小值为
，当m=n时取“=”．

故答案为：
．

点评：考查向量数量积的坐标运算，基本不等式：a+b
，a＞0，b＞0，以及解一元二次不等式．

14.

15.【考点】正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（1）已知等式利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出sinA的值，即可确定出A的度数；

（2）已知等式利用正弦定理化简，把b的值代入求出c的值，利用余弦定理列出关系，将b，c，cosA的值代入即可求出a的值．

【解答】解：（1）由sin2A﹣cosA=0，得2sinAcosA﹣cosA=0，

即cosA（2sinA﹣1）=0得cosA=0或sinA=
，

∵△ABC为锐角三角形，

∴sinA=
，

则A=
；

（2）把sinB=
sinC，由正弦定理得b=
c，

∵b=
，∴c=1，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3+1﹣2×
×1×
=1，

解得：a=1．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

16. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．

【专题】概率与统计．

【分析】（Ⅰ）根据中位数平均数的定义求出即可；

（Ⅱ）分别计算成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名的取法种数，和恰有2名学生在乙组取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案

【解答】解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9，12，10+x，24，27．

乙组五名学生的成绩为9，15，10+y，18，24．

因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8

所以10+x=13，9+15+10+y+18+24=16.8×5

所以x=3，y=8；

（Ⅱ）成绩不低于且不超过的学生中共有5名，其中甲组有2名，用A，B表示，乙组有3名，用a，b，c表示，

从中任意抽取3名共有10种不同的抽法，分别为（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（a，b，c）

恰有2名学生在乙组共有6种不同抽法，分别为（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c）

所以概率为P=
=
．

【点评】本题考查了古典概型概率计算公式，茎叶图，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键

17. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

【专题】综合题；空间位置关系与距离．

【分析】（Ⅰ）延长DC、AB交于N，连接PN，证明EC∥PN，利用线面平行的判定定理证明CE∥平面PAB；

（Ⅱ）证明CD⊥平面PAC，求出E到平面PAC距离，即可求三棱锥P﹣ACE体积．

【解答】（Ⅰ）证明：延长DC、AB交于N，连接PN

∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，

∴C为ND中点．

∵E为PD中点，∴EC∥PN．

∵EC?平面PAB，PN?平面PAB，

∴EC∥平面PAB…

（2）解：

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

∵CD⊥AC，CA∩PA=A

∴CD⊥平面PAC，

∵E为PD中点，∴E到平面PAC距离为
，

∵
，

∴
…

【点评】本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，考查三棱锥P﹣ACE体积，正确运用线面平行的判定定理是解题的关键．

18. 考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

专题： 导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）求出函数的导数，利用f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的表达式，利用函数的最小值求出a的范围．

（Ⅱ）通过a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，利用导数的符号，判断函数的单调性，求出极小值．

（Ⅲ）判断aln2x+lnx﹣1=0在
上有两个不等实根，法一：构造函数
，推出
，求出n的最小值．法二：利用
，推出a的表达式，列出
然后求解n的最小值．

解答： （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）

∴
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

∴
时函数t=
的最小值为
，

∴
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（Ⅱ） 当a=2时，

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，

解得
或lnx=﹣1（舍），即
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

当
时，f′（x）＜0，当
时，f′（x）＞0

∴f（x）的极小值为
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

（Ⅲ）原题等价于f′（x）=0在
，且n＞1）上有两个不等的实数根；

由题意可知
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

即aln2x+lnx﹣1=0在
上有两个不等实根．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

法一：令
，g（u）=au2+u﹣1

∵g（0）=﹣1＜0，根据图象可知：
，整理得
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）

即
，解得n＞2，

∴n的最小值为3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）

法二：

令
，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）

由题意可知
解得

解得n＞2，∴n的最小值为3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）

点评： 本题考查函数的单调性以及函数的极值，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．

19. 解：（Ⅰ）由题意得
=
，且
+
=1，又a2﹣b2=c2，

解得a=2，b=1．

所以椭圆C的方程是
+y2=1．

（Ⅱ）设直线l的方程设为y=kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立
消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，

则有x1+x2=
，x1x2=
，

由△＞0可得1+4k2＞t2，

y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=

设A，B的中点为D（m，n），则m=
=﹣
，n=
=

因为直线PD与直线l垂直，所以kPD=﹣
=
得
=﹣
，

△＞0可得4k2+1＞t2，可得﹣9＜t＜0，

因为cos∠APB=2cos2∠APD﹣1=﹣
，

所以cos∠APD=
，可得tan∠APD=
，

所以
=
，由点到直线距离公式和弦长公式可得|PD|=
，

|AB|=
?
=
?
=
，

由
=
=
和
=﹣
，

解得t=﹣1∈（﹣9，0），k=
，

直线l的方程为y=
x﹣1或y=﹣
x﹣1．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的实际背景及作用．

专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足方程及a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；

（Ⅱ）设直线l的方程设为y=kx+t，设A（x1，y1）B（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以AB为直径的圆过坐标原点，求出中点坐标，再由点到直线距离公式和弦长公式代入化简整理，再由两直线垂直的条件，解方程可得k，进而得到所求直线方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得
=
，且
+
=1，又a2﹣b2=c2，

解得a=2，b=1．

所以椭圆C的方程是
+y2=1．

（Ⅱ）设直线l的方程设为y=kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立
消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，

则有x1+x2=
，x1x2=
，

由△＞0可得1+4k2＞t2，

y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=

设A，B的中点为D（m，n），则m=
=﹣
，n=
=

因为直线PD与直线l垂直，所以kPD=﹣
=
得
=﹣
，

△＞0可得4k2+1＞t2，可得﹣9＜t＜0，

因为cos∠APB=2cos2∠APD﹣1=﹣
，

所以cos∠APD=
，可得tan∠APD=
，

所以
=
，由点到直线距离公式和弦长公式可得|PD|=
，

|AB|=
?
=
?
=
，

由
=
=
和
=﹣
，

解得t=﹣1∈（﹣9，0），k=
，

直线l的方程为y=
x﹣1或y=﹣
x﹣1．

点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的运用和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，弦长公式，同时考查圆的性质：直径所对的圆周角为直角，考查直线垂直的条件和直线方程的求法，属于难题

20. 【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．

【专题】综合题；等差数列与等比数列．

【分析】（1）①由已知a1+a2+a3=9，b1b2b3=27，求出a2=3，b2=3，从而建立方程组，即可求数列{an}和{bn}的通项公式；

②设b4﹣b3=m，得3q2﹣3q=m，即3q2﹣3q﹣m=0，分类讨论，可得结论；

（2）设{bn}公比为q，则有36=（3﹣d+
）（3+d+3q），（**），记m=3﹣d+
，n=3+d+3q，则mn=36．将（**）中的q消去，即可得出结论．

【解答】解：（1）①由数列{an}是等差数列及a1+a2+a3=9，得a2=3，

由数列{bn}是等比数列及b1b2b3=27，得b2=3． …

设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，

若m=18，

则有
解得
或
，

所以，{an}和{bn}的通项公式为an=3n﹣3，bn=3n﹣1或an=﹣
n+12，bn=3?（﹣2）n﹣2…

②由题设b4﹣b3=m，得3q2﹣3q=m，即3q2﹣3q﹣m=0（*）．

因为数列{bn}是唯一的，所以

若q=0，则m=0，检验知，当m=0时，q=1或0（舍去），满足题意；

若q≠0，则（﹣3）2+12m=0，解得m=﹣
，代入（*）式，解得q=
，

又b2=3，所以{bn}是唯一的等比数列，符合题意．

所以，m=0或﹣
． …

（2）依题意，36=（a1+b1） （a3+b3），

设{bn}公比为q，则有36=（3﹣d+
）（3+d+3q），（**）

记m=3﹣d+
，n=3+d+3q，则mn=36．

将（**）中的q消去，整理得：d2+（m﹣n）d+3（m+n）﹣36=0 …

d的大根为
=

而m，n∈N*，所以 （m，n）的可能取值为：

（1，36），（2，18），（3，12），（4，9），（6，6），（9，4），（12，3），（18，2），（36，1）．

所以，当m=1，n=36时，d的最大值为
． …

【点评】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质及通项公式的应用，等比数列的性质的综合应用及一定的逻辑推理运算的能力，属于难题．