内蒙古赤峰市宁城县2016届高三下学期第四次统一模拟考试

数学（理）试题

注意事项：

1、本试卷本分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.

2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合
,则

(A)
(B)
(C)
(D)

2. 设复数
的共轭复数为
，
为虚数单位，已知
，则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

3．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到
列联表，经计算得
，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，
，则该研究所可以（ ）

（A）有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”

（B）有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”

（C）有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”

（D）有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”

4． 执行如图所示的程序框图，输出的
值为

（A）19 （B）42

（C）8 （D）3

5. 已知
，函数
，
．

命题p：
，

命题q：函数
在区间
内有最值．则命题p是命题q成立的

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件



(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件



6．如图，矩形
内，阴影部分是由直线
，曲线
以及
轴围成，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

7．函数
一个周期的图像如图所示,则

(A)

(B)

(C)

(D)

8.右图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为

（A）
（B）
（C）
（D）

9．已知
、
是椭圆
的两个焦点，满足
的点
总在椭圆的内部，则椭圆
的离心率的取值范围（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10.已知函数
若方程
有且只有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

11. 点
是在△ABC所在平面上一点，若
，AB=2，AC=3，
.存在实数
，使
，则

（A）
（B）
（C）
（D）
[:]

12. 若圆
与曲线
的没有公共点，则半径
的取值范围是

(A)
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题?第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题?第：24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.

13．化简
按
升幂排列为 ．

14．某三棱椎的三视图如图所示，

则其体积为 ．

15．已知
满足
（k为常数），若
最大值为8，则
=________.

16．在△ABC中，
，则
的最小值为 ___________.

三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（本小题满分12分）

已知数列
为等差数列，
为其前
项和，且
，
，数列
满足
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：
.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
为正方形，点
分别为线段
上的点，
.

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)当
，二面角
大小为为
时，求
的长.

19．（本小题满分12分）

某工厂新研发的一种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下6组数据：

单价
（元）

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9



销量
（件）

90

84

83

80

75

68



（Ⅰ）若
，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组

数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；

（Ⅱ）求
关于
的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元?（利润
＝销售收入－成本）

附：线性回归方程
中系数计算公式：

，
，其中
、
表示样本均值．

20. （本小题满分12分）

已知抛物线
：
，
为直线

上任意一点，过点
作抛物线
的两条切线
，切点分别为
,
.

（Ⅰ）当
的坐标为
时，求过
三点的圆的方程；

（Ⅱ）证明：以
为直径的圆恒过点
.

21．（本小题满分12分）

已知函数
，
.

（I）若函数
存在单调减区间，求实数
的取值范围；

（II）若
，证明：
，总有
.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，A、B是圆O上的两点，且AB的长度小于圆O的直径，直线l与AB垂于点D且与圆O相切于点C．若AB=2，DB=1

（1）求证：CB为∠ACD的角平分线；

（2）求圆O的直径的长度．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点
，倾斜角为
.

(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C交于AB两点,求
.

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

若
，使关于
的不等式
成立，设满足条件的实数
构成的集合为T.

（1）求集合
；

（2）若
，且对于
，不等式
恒成立，求
的最小值.

参考答案

选择题：ACBA ABDC CDAC

填空题：13、
；14、
；15、
；16、
.

解答题:

17.解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，由
得

由
……………………………………2分

解得
，…………………………………………4分

故数列
的通项公式为：
……………………5分

（Ⅱ）由（1）可得
①………………………………6分

所以当
时，
②………………………7分

①-②得
，即
……………………………………………8分

又
也满足
，所以
.………………………………9分

……………………………………10分

………12分

18.（Ⅰ）证明：在正方形
中，
, …………………1分

因为
平面
，
平面
， 所以
. …………………2分

因为
，且
，
平面
，

所以
平面
…………………4分

（Ⅱ）因为
平面
，
平面
，

所以
,
.

又
,如图，以
为原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系
, …………………6分

所以
.

设平面
的一个法向量为
，

平面
的一个法向量为
,

设
,
，

因为
，所以
，

又
，所以
，即
，

取
, 得到
, …………………8分

因为
，

所以
，即
，

取
得, 到
, …………………10分

因为二面
大小为
, 所以
,

所以

解得
, 所以
…………………12分

19．解：（Ⅰ）
取值为0,1,2．使
的有3组，所以
，

，
．
的分布列为

0

1

2













数学期望为
． …………6分

（Ⅱ）因为
，
，
，
．所以
，
．
关于
的线性回归方程是
．

利润
．

当
时，
取最大值
．

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． …………12分

20.解：（Ⅰ）解：当
的坐标为
时，设过
点的切线方程为
，

由
消
得
. (1)

令
，解得
.

代入方程(1)，解得
. ……………3分

设圆心
的坐标为
，由
，得
，解得
.

故过
三点的圆的方程为
． ……………5分

（Ⅱ）证明：设
，由已知得
，
，设切点分别为
，
，所以
，
，

切线
的方程为
即
，

切线
的方程为
即
． ……………7分

又因为切线
过点
，所以得
. ①

又因为切线
也过点
，所以得
. ②

所以
，
是方程
的两实根，

由韦达定理得

． ……………9分

因为
，
，

所以

．

将

代入，得
.

所以以
为直径的圆恒过点
． ……………12分

21.解：（I）由已知，得