内蒙古赤峰市宁城县2016届高三下学期第四次统一模拟考试

数学（文）试题

注意事项：

1、本试卷本分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.

2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合
,则

(A)
(B)
(C)
(D)

2. 已知
，
，
，则三个数的大小关系是

（A）
（B）
（C）
（D）

3．已知等比数列
中，
，
，则公比
=（ ）

(A)
(B)
(C)2 (D)

4．设
为非零向量，则“
”是“
⊥
”的

（A） 充分不必要条件

（B） 必要不充分条件

（C） 充分必要条件

（D） 既不充分也不必要条件

5. 执行如图所示的程序框图，输出的
值为

（A）19 （B）42

（C）8 （D）3

6．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为
，则该双曲线的离心率是

（A）
（B）
（C）
或
（D）
或

7 某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为

（A）
（B）

（C）
（D）

8．函数
一个周期的图像如图所示,则

(A)

(B)

(C)

(D)

9．已知椭圆C：
，直线
不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. 直线OM的斜率与l的斜率的乘积为

（A）
（B）

（C）
（D）不确定，随A，B的变化而变化

10.右图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为

（A）
（B）
（C）
（D）

11. 点
是在△ABC的内心，已知AB=3，AC=4，
.存在实数
，使
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

12. 若存在
，使得
，则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题?第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题?第：24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设复数
的共轭复数为
，
为虚数单位，已知
，则
= ．

14．已知
满足
（k为常数），若
最大值为8，则
=________.

15．已知数列
满足
，则
的最小值为_________．

16.某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确的是

①甲只能承担第四项工作

②乙不能承担第二项工作

③丙可以不承担第三项工作

④丁可以承担第三项工作

⑤戊可以承担第四项工作

请把描述正确说法的代号写到横线上______________.

三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的所对应边分别为a,b,c，且

（Ⅰ）求c的值；

（Ⅱ）求
的值．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，

平面
，底面
是菱形，点
是对角线
与
的交点，
，
，

(Ⅰ)求证：平面

平面
；

(Ⅱ)当三棱锥
的体积等于
时，求
的长．

19．（本小题满分12分）

某公司员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．

(Ⅰ)下表是年龄的频率分布表，求正整数
的值；

区间

[25，30)

[30，35)

[35，40)

[40，45)

[45，50]



人数

50

50



150







(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄分别在第1,2,3组的人数分别是多少？

(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．

20. （本小题满分12分）

已知抛物线
：
，
为直线

上任意一点，过点
作抛物线
的两条切线
，切点分别为
,
.

（Ⅰ）当
的坐标为
时，求过
三点的圆的方程；

（Ⅱ）证明：以
为直径的圆恒过点
.

21．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）若函数
在
上单调递减，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，方程
有两个解
，且
，求证：
.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，A、B是圆O上的两点，且AB的长度小于圆O的直径，直线l与AB垂于点D且与圆O相切于点C．若AB=2，DB=1

（Ⅰ）求证：CB为∠ACD的角平分线；

（Ⅱ）求圆O的直径的长度．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点
，倾斜角为
.

(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C交于AB两点,求
.

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

若
，使关于
的不等式
成立，设满足条件的实数
构成的集合为T.

（Ⅰ）求集合T；

（Ⅱ）若
，且对于
，不等式
恒成立，求
的最小值.

参考答案

选择题：ACBC ADBD BCAB

填空题：13、
；14、
；15、
；16、②⑤.

三、解答题

17．解：（Ⅰ）根据正弦定理，
,所以
-------------4分

（Ⅱ）根据余弦定理，得
------------------6分

于是

从而

………10分

所以
-------------------12分

18．证明：（Ⅰ）因为底面
是菱形，

所以
．

因为
平面
，
平面
，

所以
．又
，

所以
平面
．-----------------4分

又
平面
，

所以平面
平面
． ……………………6分

(Ⅱ)因为底面
是菱形，且
，
，

所以
．

又
，三棱锥
的高为
，

所以
，解得
． ……………………12分

19．解：(Ⅰ)由题设可知，

……………2分

(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，

利用分层抽样在300名学生中抽取
名学生，每组抽取的人数分别为：

第1组的人数为
，

第2组的人数为
，

第3组的人数为
，

所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分

(Ⅲ)设第1组的1位同学为
，第2组的1位同学为
，第3组的4位同学为
，则从六位同学中抽两位同学有：

共
种可能． ………… 10分

其中2人年龄都不在第3组的有：
共1种可能，

所以至少有1人年龄在第3组的概率为
． …………12分

20．20.解：（Ⅰ）解：当
的坐标为
时，设过
点的切线方程为
，

由
消
得
. (1)

令
，解得
.

代入方程(1)，解得
. ……………3分

设圆心
的坐标为
，由
，得
，解得
.

故过
三点的圆的方程为
． ……………5分

（Ⅱ）证明：设
，由已知得
，
，设切点分别为
，
，所以
，
，

切线
的方程为
即
，

切线
的方程为
即
． ……………7分

又因为切线
过点
，所以得
. ①

又因为切线
也过点
，所以得
. ②

所以
，
是方程
的两实根，

由韦达定理得

． ……………9分

因为
，
，

所以

．

将

代入，得
.

所以以
为直径的圆恒过点
． ……………12分

21.解：（I）因为
，则
，

若函数
在
上单调递减，则
在
上恒成立，

即当
时
恒成立，所以
.-------------------------4分

（II）证明：根据题意，方程
有两个解
，所以

所以
，
.

两式相减，可得
,--------------------------6分

即
，故
.那么
，
.

令
，其中
，则
.

记
，------------------------10分

则
.

因为
，所以
恒成立，故
，即
.

可知
，故
.--------------------------12分

四、选做题

22．（1）证明：由切割线定理得CD2=DA?DB=3，∴


又∵在Rt△CDB中，CB2=CD2+BD2=3+1=4

∴在Rt△CBA中，CB=AB=2，

∴∠ACB=∠CAB

又∵CD为圆O的切线，

∴∠BCD=∠CAB

∴∠BCD=∠ACB，CB为∠ACD的角平分线 …………5分

（2）解：连结AO并延长交圆O于点E，连结CE，

设DC延长线上一点为F，

∵AE为圆O直径，∴


∵直线l与圆O相切于点C．∴∠ACD=∠E，∠BCD=∠2，

∴∠1=∠2（等角的余角相等）

∴∠1=∠2=∠BCD=∠ACB

∴EC=BC=AB=2（相等的圆周角所对的弦相等）

∵AC2=AD2+CD2=9+3=12

∴AE2=EC2+AC2=4+12=16

∴AE=4圆O的直径为4 …………………………10分

23．解：（1）对于C：由

对于
由

（2）设A,B两点对应的参数分别为

将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程

得

化简得

解：(I)

所以
，所以
的取值范围为
.-----------------4分

(Ⅱ)由(I)知，对于
，不等式
恒成立，只需
,

所以
，------------------------------------6分

又因为
，所以
.

又

所以
，所以
，
，

所以
，即
的最小值为6
.---------------10分

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