包头一中2015——2016学年度高三年级校二模试题

（数学理科）

命题人：陈巧梅 审题人：数学备课组

一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.若集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.若复数
满足
，其中
为虚数为单位，则
=（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3.执行如图所示的程序框图，如果输入
，则输出的
( )

A.
B.
C.
D.

4.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．8－2π B．8－ C．8－ D．8－π

5.直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D既不充分又不必要条件6．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是 (　　)

A．－ B．－5 C．5 D.

7.将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)

A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增

8．设实数x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，

b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)．

A. 4 B. C. D．

9如图，设抛物线
的焦点为
，不经过焦点的直线上有三个不同的点
，
，
，其中点
，
在抛物线上，点
在
轴上，则
与
的面积之比是（ ）

A.
B.

C.
D.

10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝(　　)

A．22 016－1 B．3·21 008－3

C． 3·21 008－1 D．3·21 007－2

11. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)

A. B. C. D.

12已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1)．现有下列命题：

①f(－x)＝－f(x)；②f＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.

其中的所有正确命题的序号是(　　)

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）

13． (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)

14设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－3cos x取得最大值，则cos θ＝________.

15.已知点
和
的横坐标相同，
的纵坐标是
的纵坐标的
倍，
和
的轨迹分别为双曲线
和
．若
的渐近线方程为
，则
的渐近线方程为 ．

16. 如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．

三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题12分）

向量a＝(2,2)，向量b与向量a的夹角为，且a·b＝－2.

(1)求向量b；

(2)若t＝(1,0)，且b⊥t，c＝，其中A、B、C是△ABC的内角，若△ABC的内角A、B、C依次成等差数列，试求|b＋c|的取值范围．

18. （本小题满分12分）

如图，已知四棱台
上、下底面分别是边长为3和6的正方形，
，且
底面
，点
，
分别在棱
，BC上.

（1）若P是
的中点，证明：
；

（2）若
平面
，二面角
的余弦值为
，求四面体
的体积.

19．（本小题满分12分）

一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

20. （本小题满分12分）

如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数
.

(1)求f(x)的极小值和极大值；

(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．

如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，

OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于

点D．连接CF交AB于点E．

（1）求证：DE2=DB?DA；

（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．

23.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．

(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；

(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.

(1)若关于x的不等式f(x)<|1－2a|的解集不是空集，求实数a的取值范围；

(2)若关于t的一元二次方程t2＋2t＋f(m)＝0有实根，求实数m的取值范围．

17．解：(1)设b＝(x，y)，则a·b＝2x＋2y＝－2，且|b|＝＝1＝，

∴解得或

∴b＝(－1,0)或b＝(0，－1)．

(2)∵b⊥t，且t＝(1,0)，∴b＝(0，－1)．

∵A、B、C依次成等差数列，∴B＝.

∴b＋c＝＝(cosA，cosC)．

∴|b＋c|2＝cos2A＋cos2C

＝1＋(cos2A＋cos2C)

＝1＋

＝1＋3

＝1＋cos.

∵2A＋∈，

∴－1≤cos＜，

∴≤|b＋c|2＜，

∴≤|b＋c|＜.

18..

（1）若
是
的中点，则
，
，于是
，∴


，即
；（2）由题设知，
，
是平面
内的两个不共线向量.

∴

，即
，亦即

，从而
，于是，将四面体
视为以
为底面的三棱锥
，则其高
，故四面体
的体积
.

19．

20.

【解析】 (1)由P在椭圆上，得＋＝1.①

依题设知a＝2c，则b2＝3c2.②

将②代入①，解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.

故椭圆C的方程为＋＝1.

注意到A，F，B三点共线，则有k＝kAF＝kBF，

即有＝