2016年普通高等学校全国统一招生考试（江苏卷）

数学试题

填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合
则
________▲________.

【答案】

【解析】

试题分析：
．故答案应填：
，

考点：集合运算

2. 复数
其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.

【答案】5

【解析】

试题分析：
．故答案应填：5

考点：复数概念

3. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线
的焦距是________▲________.

【答案】

考点：双曲线性质

4. 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.

【答案】0.1

【解析】

试题分析：这组数据的平均数为
，
．故答案应填：0.1，

考点：方差

5. 函数y=
的定义域是 ▲ .

【答案】

【解析】

试题分析：要使函数有意义，必须
，即
，
．故答案应填：
，

考点：函数定义域

6. 如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ▲ .

【答案】9

考点：循环结构流程图

7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .

【答案】

【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为

考点：古典概型概率

8. 已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是 ▲ .

【答案】

【解析】由
得
，因此

考点：等差数列性质

9. 定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 ▲ .

【答案】7

【解析】由
，因为
，所以
共7个

考点：三角函数图像

10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆
的右焦点，直线
与椭圆交于

B，C两点，且
,则该椭圆的离心率是 ▲ .

(第10题)

【答案】

【解析】由题意得
，因此

考点：椭圆离心率

11. 设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ ?1,1)上，
其中
若
，则
的值是 ▲ .

【答案】

考点：分段函数，周期性质

12. 已知实数x，y满足
，则x2+y2的取值范围是 ▲ .

【答案】

考点：线性规划

13. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
，
，

则
的值是 ▲ .

【答案】

【解析】因为
,
,

因此
，

考点：向量数量积

14. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ▲ .

【答案】8.

【解析】
，因此

，即最小值为8.

考点：三角恒等变换，切的性质应用

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. （本小题满分14分）

在
中，AC=6，

（1）求AB的长；

（2）求
的值.

【答案】（1）
(2)

考点：同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式

16. (本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且
，
.

求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

（2）在直三棱柱
中，

因为
平面
，所以

又因为

所以
平面

因为
平面
，所以

又因为

所以

因为直线
，所以

考点：直线与直线、平面与平面位置关系

17. （本小题满分14分）

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥
，下部分的形状是正四棱柱
(如图所示)，并要求正四棱柱的高
的四倍.

（1）若
则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当
为多少时，仓库的容积最大？

【答案】（1）312（2）

(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0

因为在
中，

所以
，即

考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积

18. （本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:
及其上一点

A(2，4)

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；

（3）设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得
,求实数t的取值范围。

【答案】（1）
（2）
（3）

【解析】

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

(3)设

因为
,所以
……①

因为点Q在圆M上，所以
…….②

将①代入②，得
.

于是点
既在圆M上，又在圆
上，

从而圆
与圆
没有公共点，

所以
解得
.

因此，实数t的取值范围是
.

考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算

19. （本小题满分16分）

已知函数
.[:]

设
.

（1）求方程
=2的根;

（2）若对任意
,不等式
恒成立，求实数m的最大值；

（3）若
，函数
有且只有1个零点，求ab的值。

【答案】（1）①0②4（2）1

而
，且
，

所以
，故实数
的最大值为4.

若
，则
，于是
，

又
，且函数
在以
和
为端点的闭区间上的图象不间断，所以在
和
之间存在
的零点，记为
. 因为
，所以
，又
，所以
与“0是函数
的唯一零点”矛盾.

若
，同理可得，在
和
之间存在
的非0的零点，矛盾.

因此，
.

于是
，故
，所以
.

考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点

20. （本小题满分16分）

记
.对数列
和
的子集T，若
,定义
;若

，定义
.例如：
时，
.现设
是公比为3的等比数列，且当
时，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）对任意正整数
，若
，求证：
；

（3）设
,求证：
.

【答案】（1）
（2）详见解析（3）详见解析

（3）下面分三种情况证明.

①若
是
的子集，则
.

②若
是
的子集，则
.

③若
不是
的子集，且
不是
的子集.

考点：等比数列的通项公式、求和

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.

【答案】详见解析

【解析】

试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质
， 再由
，
与
互余，
与
互余，等角关系：
，从而得证

试题解析：

证明：在
和
中，

因为
为公共角，

所以
∽
，于是
.

在
中，因为
是
的中点，

所以
，从而
.

所以
.

考点：相似三角形

B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）

已知矩阵
矩阵B的逆矩阵
，求矩阵AB.

【答案】
[:]

因此，
.

考点：逆矩阵，矩阵乘法

C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
（t为参数），椭圆C的参数方程为
（
为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.

【答案】

考点：直线与椭圆参数方程

D. 【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）

设a＞0，|x-1|＜
，|y-2|＜
，求证：|2x+y-4|＜a.

【答案】详见解析

试题分析：利用含绝对值的不等式进行放缩证明

试题解析：证明：因为

所以

考点：含绝对值的不等式证明

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. （本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为
；

②求p的取值范围.

【答案】（1）
（2）①详见解析，②

（2）设
，线段PQ的中点

因为点P和Q关于直线
对称，所以直线
垂直平分线段PQ,

于是直线PQ的斜率为
，则可设其方程为

考点：直线与抛物线位置关系

23. （本小题满分10分）

（1）求
的值；

（2）设m，n
N*，n≥m，求证：

（m+1）
+（m+2）
+（m+3）
+…+n
+（n+1）
=（m+1）
.

【答案】（1）0（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据组合数公式化简求值（2）设置（1）目的指向应用组合数性质解决问题，而组合数性质不仅有课本上的
，而且可由（1）归纳出的
；单纯从命题角度看，可视为关于n的等式，可结合数学归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看做展开式
中含
项的系数，再利用错位相减求和得含
项的系数 ，从而达到化简求证的目的

试题解析：解：（1）

考点：组合数及其性质

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