2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）已知集合A=
B=
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）若x,y满足
，则2x+y的最大值为

（A）0 （B）3

（C）4 （D）5

（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

（4）设a,b是向量，则“IaI=IbI”是“Ia+bI=Ia-bI”的

（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（5）已知x,y
R,且x
y
o，则

（A）
-
（B）

（C）
(-
0 （D）lnx+lny

(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A）

（B）

（C）

（D）1

(7)将函数
图像上的点P（
，t ）向左平移s（s﹥0） 个单位长度得到点P′.若 P′位于函数
的图像上，则

（A）t=
，s的最小值为
（B）t=
，s的最小值为

（C）t=
，s的最小值为
（D）t=
，s的最小值为

（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则

（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球

（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

第二部分（非选择题　共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）设a
R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。

（10）在
的展开式中，
的系数为__________________.（用数字作答）

（11）在极坐标系中，直线
与圆
交于A，B两点，

则
=____________________.

（12）已知
为等差数列，
为其前n项和，若
，
，则
.

（13）双曲线
的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.

（14）设函数

①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；

②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题13分）

在
ABC中，

（I）求
的大小

（II）求

的最大值

（16）（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；

A班

6 6.5 7 7.5 8



B班

6 7 8 9 10 11 12



C班

3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5



（I） 试估计C班的学生人数；

（II） 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记
，表格中数据的平均数记为
，试判断
和
的大小，（结论不要求证明）

（17）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD
平面ABCD，PA
PD ,PA=PD,AB
AD,AB=1,AD=2,AC=CD=
,

（I）求证：PD
平面PAB;

（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（II I）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求
的值；若不存在，说明理由。

（18）（本小题13分）

设函数f(x)=xe
+bx，曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，

（I）求a,b的值；

(I I) 求f(x)的单调区间。

（19）（本小题14分）

已知椭圆C：
（a>b>0）的离心率为
，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.

（I）求椭圆C的方程；

(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。

求证：lANl
lBMl为定值。

（20）（本小题13分）

设数列A：
，
,…
(N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有
＜
，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。

（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；

(I I)证明：若数列A中存在
使得
>
，则G（A）

；

(I I I）证明：若数列A满足
-
≤1（n=2,3, …,N）,则G（A）的元素个数不小于
-
。

2016年北京高考数学（理科）答案与解析

C

【解析】集合
，集合
，所以
.

C

【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为
，最大值为
.

3. B

【解析】开始
，
；第一次循环
，
；第二次循环
，
，第三次循环
，条件判断为“是”跳出，此时
.

4. D

【解析】若
成立，则以
，
为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，
，
表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以
不一定成立，从而不是充分条件；反之，
成立，则以
，
为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以
不一定成立，从而不是必要条件.

5. C

【解析】
.考查的是反比例函数
在
单调递减，所以
即
所以
错；
.考查的是三角函数
在
单调性，不是单调的，所以不一定有
，
错；
.考查的是指数函数
在
单调递减，所以有
即
所以
对；
考查的是对数函数
的性质，
，当
时，
不一定有
，所以
错.

6．A

【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高
，底面积
，所以体积
.

7．A

【解析】点
在函数
上，所以
，然后

向左平移
个单位，即
，所以
，所以
的最小值为
.

8．B

【解析】取两个球往盒子中放有
种情况：

①红+红，则乙盒中红球数加
个；

②黑+黑，则丙盒中黑球数加
个；

③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加
个；

④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加
个．

因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．

③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．

①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．

综上，选B．

9.

【解析】

∵其对应点在实轴上

∴
，

10.

【解析】由二项式定理得含
的项为

11.

【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算
，

直线的直角坐标方程为

∵
，
∴

圆的直角坐标方程为

圆心
在直线上，因此
为圆的直径，

12.

【解析】∵
∴

∵
，
∴

∴

13. 2

【解析】不妨令
为双曲线的右焦点，
在第一象限，则双曲线图象如图

∵
为正方形，
∴
，

∵直线
是渐近线，方程为
，∴

又∵
∴

14．
，
．

【解析】由
，得
，如下图，是
的两个函数在没有限制条件

时的图象．

⑴
；

⑵ 当
时，
有最大值
；

当
时，
在
时无最大值，且
．

所以，
．

15．

【解析】⑴ ∵

∴

∴

∴

⑵∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴
最大值为1

上式最大值为1

16．

【解析】⑴
，C班学生40人

⑵在A班中取到每个人的概率相同均为

设
班中取到第
个人事件为

C班中取到第
个人事件为

班中取到
的概率为

所求事件为

则

⑶

三组平均数分别为
总均值

但
中多加的三个数据
平均值为
，比
小，

故拉低了平均值

17．

【解析】⑴∵面

面

面

面

∵


，
面

∴

面

∵
面

∴

又

∴

面

⑵取
中点为
，连结
，

∵

∴

∵

∴

以
为原点，如图建系

易知
，
，
，
，

则
，
，
，

设
为面
的法向量，令

，则
与面
夹角
有