2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学文

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则
=（ ）

A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}

【答案】C

考点：补集的运算.

2. 已知互相垂直的平面
交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）

A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意知
，
．故选C．

考点：线面位置关系.

3. 函数y=sinx2的图象是（ ）

【答案】D

【解析】

试题分析：因为
为偶函数，所以它的图象关于
轴对称，排除A、C选项；当
，即
时，
，排除B选项，故选D.

考点：三角函数图象.

4. 若平面区域
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B

考点：线性规划.

5. 已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若
，则（ ）

A.
B.

C.
D.

【答案】D

【解析】

试题分析：
，

当
时，
，
，
；

当
时，
，
，
．故选D．

考点：对数函数的性质.

6. 已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

考点：充分必要条件.

7. 已知函数
满足：
且
.（ ）

A.若
，则
B.若
，则

C.若
，则
D.若
，则

【答案】B

【解析】

试题分析：由已知可设
，则
，因为
为偶函数，所以只考虑
的情况即可．若
，则
，所以
．故选B．

考点：函数的奇偶性.

8. 如图，点列
分别在某锐角的两边上，且

，

.

(P≠Q表示点P与Q不重合)

若
，
为
的面积，则（ ）

A.
是等差数列 B.
是等差数列 C.
是等差数列 D.
是等差数列

【答案】A

考点：新定义题、三角形面积公式.

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）

9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.

【答案】80　；40．

【解析】

试题分析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，

，
．

考点：三视图.

10. 已知
，方程
表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.

【答案】
；5．

考点：圆的标准方程.

11. 已知
，则
______．

【答案】
；1．

【解析】

试题分析：
，所以

考点：三角恒等变换.

12．设函数f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，x∈R，则实数a=_____，b=______．

【答案】－2；1．

【解析】

试题分析：
，

，

所以
，解得
．

考点：函数解析式.

13．设双曲线x2–
=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______．

【答案】
．

考点：双曲线的几何性质.

14．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=
，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．

【答案】

所以

＝
，所以
时，
取最大值
．

考点：异面直线所成角.

15．已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．

【答案】

【解析】

考点：平面向量的数量积和模.

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B．

（Ⅰ）证明：A=2B；

（Ⅱ）若cos B=
，求cos C的值．

【答案】（1）证明详见解析；（2）
.

【解析】

试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．

试题解析：（1）由正弦定理得
，

故
，

于是，
，

又
，故
，所以
或
，

因此，
（舍去）或
，

所以，
.

（2）由
，得
，
，

故
，
，

.

考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.

17. （本题满分15分）设数列{
}的前
项和为
.已知
=4，
=2
+1，
.

（I）求通项公式
；

（II）求数列{
}的前
项和.

【答案】（1）
；（2）
.

考点：等差、等比数列的基础知识.

18. （本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（I）求证：BF⊥平面ACFD；

（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.

【答案】（1）证明详见解析；（2）
.

考点：空间点、线、面位置关系、线面角.

19. （本题满分15分）如图，设抛物线
的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.

（I）求p的值；

（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.

【答案】（1）p=2；（2）
.

考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.

20. （本题满分15分）设函数
=
，
.证明：

（I）

；

（II）


.

【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到
，从而得到结论；第二问，由
得
，进行放缩，得到
， 再结合第一问的结论，得到
， 从而得到结论.

试题解析：(Ⅰ)因为

考点：函数的单调性与最值、分段函数.

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